Натуральное число

Натура́льные чи́слачисла, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при :

  • перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N \mathbb{N} .

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

ОпределениеПравить

Аксиомы ПеаноПравить

  Основная статья: Аксиомы Пеано

Введём функцию S S , которая сопоставляет числу x x следующее за ним число.

  1. 1 N 1\in\mathbb{N} ( 1 1 является натуральным числом);
  2. Если x N x\in\mathbb{N} , то S ( x ) N S(x)\in\mathbb{N} (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. x N   ( S ( x ) = 1 ) \nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1) (1 не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если S ( b ) = a S(b)=a и S ( c ) = a S(c)=a , тогда b = c b=c (если натуральное число a a непосредственно следует как за числом b b , так и за числом c c , то b = c b=c );
  5. Аксиома индукции. Пусть P ( n ) P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n n . Тогда:
если P ( 1 ) P(1) и n ( P ( n ) P ( S ( n ) ) ) \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n))) , то n P ( n ) \forall n\;P(n)
(Если некоторое высказывание P P верно для n = 1 n=1 (база индукции) и для любого n n при допущении, что верно P ( n ) P(n) , верно и P ( n + 1 ) P(n+1) (индукционное предположение), то P ( n ) P(n) верно для любых натуральных n n ).

Теоретико-множественное определениеПравить

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • 0 = 0=\varnothing
  • S ( n ) = n { n } S(n)=n\cup\left\{n\right\}

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

  • 0 = 0=\varnothing
  • 1 = { } 1=\left\{\varnothing\right\}
  • 2 = { , { } } 2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}
  • 3 = { , { } , { , { } } } 3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

ЗамечаниеПравить

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют 1 1 на 0 0 . В этом случае ноль считается натуральным числом.

В русской литературе обычно ноль исключен из числа натуральных чисел 0 N 0\notin\mathbb{N} , а множество натуральных чисел с нулем обозначается как N 0 \mathbb{N}_0 .

Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как N \mathbb{N} , а без нуля как N \mathbb{N}^* .

Операции над натуральными числамиПравить

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • Сложение. Cлагаемое + Слагаемое = Сумма
  • Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
  • Возведение в степень a b a^b , где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

  • Вычитание. Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
  • Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p p и остаток r r от деления a a на b b определяются так: a = p b + r a=p*b+r , причём 0 r 0\leqslant r . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a a можно представить в виде a = p 0 + a a=p*0+a , то есть можно было бы считать частным 0 0 , а остатком = a a .

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определенияПравить

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

  • [ A ] + [ B ] = [ A B ] [A] + [B] = [A \sqcup B]
  • [ A ] [ B ] = [ A × B ] [A] * [B] = [A \times B]
  • [ A ] [ B ] = [ A B ] {[A]}^{[B]} = [ A^B ]

где A B A \sqcup B дизъюнктное объединение множеств, A × B A \times B прямое произведение, A B A ^ B — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойстваПравить

  1. Коммутативность сложения. a + b = b + a \,\! a + b = b + a
  2. Коммутативность умножения. a b = b a \,\! ab = ba
  3. Ассоциативность сложения. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) \,\! (a + b) + c = a + (b + c)
  4. Ассоциативность умножения. ( a b ) c = a ( b c ) \,\! (ab)c = a(bc)
  5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. { a ( b + c ) = a b + a c ( b + c ) a = b a + c a \,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}

Алгебраическая структураПравить

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z \mathbb Z и рациональных положительных чисел Q + \mathbb Q^*_+ соответсвенно.

Натуральные числа в русском языкеПравить

  • Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).
  • Числа от 11 до 20 — оди́ннадцать (11), двена́дцать (12), трина́дцать (13), четы́рнадцать (14), пятна́дцать (15), шестна́дцать (16), семна́дцать (17), восемна́дцать (18), девятна́дцать (19), два́дцать (20).
  • Числа от 30 до 90 — три́дцать (30), со́рок (40), пятьдеся́т (50), шестьдеся́т (60), се́мьдесят (70), во́семьдесят (80), девяно́сто (90).
  • Числа от 100 до 900 — сто (100), две́сти (200), три́ста (300), четы́реста (400), пятьсо́т (500), шестьсо́т (600), семьсо́т(700), восемьсо́т (800), девятьсо́т (900).

См. такжеПравить

СсылкиПравить

Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические