Аргументы против числа тау

Основная статья здесь

Спойлер: на самом деле объективно многие из них несостоятельны и при более честном рассмотрении играют даже в пользу числа тау. Именно их Майкл Хартл разоблачал в своём манифесте.

Аргументы против числа тау высказываются некоторыми математиками, убеждёнными в большей естественности именно числа π. Одним из таковых ресурсов служит статья The Pi Manifesto. Они представляют особый интерес тем, что они позволяют поразмышлять над проблемой «π vs τ» ещё тщательнее и сильнее прозреть при их разоблачении.

Гауссиан

Если ничего не объяснять подробно, вплоть до того, что вообще означают все эти формулы, то распределение Гаусса $\frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$, казалось бы, гораздо естественнее переписать как $$\frac 1{\sqrt{\pi}}\frac 1{\sqrt{2}\sigma}e^{-(\frac x{\sqrt{2}\sigma})^2},$$ где $\sqrt{2}\sigma$ — это фактически устойчивое выражение, которое не прочь бы заменить какой-то переменной. Вот и аргумент в пользу π — «распишите, получитесь». Именно так это подаётся в статье The Pi Manifesto.

На самом деле

На самом же деле данное выражение представляет собой $$\frac 1{\sqrt{2\pi}}\frac 1{\sigma}e^{-\frac12(\frac x{\sigma})^2},$$ где $\tfrac 1{\sqrt{2\pi}}$ возникает для того, чтобы интеграл от этой функции нормировался до 1. Короче, «ларчик просто открывался»!

На этом не всё

На самом деле такое объяснение будет не до конца честным, если не объяснить, зачем перед дробью x/σ вообще стоит одна вторая. Может, она не нужна и лишь «пудрит» мозг, чтобы мы любой ценой не видели очевидного? Вот здесь и будет дано объяснение.

Объяснение для «чайников». Есть такое математическое понятие — плотность распределения. Примером каковых служит нормированный гауссиан. Плотность распределения — это просто функция, которая на вход берёт точку из заданного множества (обычно вещественных чисел), а возвращает вероятность тыкнуть именно на данную точку среди кучи других внутри этого множества. Фактически это просто обобщение статистического массива данных на случай, если он бесконечен. Дело в том, что если мы все эти данные натыкаем, то количество точек окажется бесконечно большим — и просто так их по-человечески не посчитаешь. Поэтому это количество нужно просто пропорционально сжать на один и тот же бесконечный коэффициент (в предельном смысле), тем самым и получив плотность распределения. И в гауссиане σ — это просто среднеквадратическое отклонение всего этого массива по ℝ. И именно отсюда растут ноги у коэффициента 1/2 перед x/σ. Просто если по-честному рассчитать это отклонение без этой одной второй: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{(x_1-0)^2+…+(x_n-0)^2}n}=\lim_n\sqrt{\frac{\sum_xx^2e^{-(\frac x{\sigma})^2}}{\sum_xe^{-(\frac x{\sigma})^2}}}=\lim_{n,\Delta x}\sqrt{\frac{\sum_xx^2e^{-(\frac x{\sigma})^2}\Delta x}{\sum_xe^{-(\frac x{\sigma})^2}\Delta x}}=\sqrt{\frac{\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-(\frac x{\sigma})^2}\text{d}x}{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(\frac x{\sigma})^2}\text{d}x}}$$ через интегрирование по частям, то выйдет несколько ниже ожидаемой сигмы: 2^–0,5σ. Вот отсюда и калибровка.

Замечание

При этом, что довольно забавно (хотя и ожидаемо), в манифесте числу π авторы взяли и просто умолчали о смысле числа σ: не сказали, что это среднеквадратическое отклонение, что это корень из дисперсии, ну или хоть какое-то малейшее описание этого числа — да вообще ничего! Мол, ну сигма и сигма — что бубнить-то. По всей видимости, важно было отвести внимание от объяснения дроби 1/2 перед x/σ. Таким удобным способом в манифесте просто отмахиваются от этой одной второй под обоснованием, что якобы в математическом сообществе не договорились, гауссиан с каким среднеквадратическим отклонением называть стандартным нормальным распределением (с единичным или с тем, при котором неудобная авторам одна вторая выпадает), и что лично сам Гаусс делал выбор в пользу последнего варианта.

Функция ошибок

Это первообразная от гауссиана: $$\frac 2{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\text{ d}t.$$ Число $\frac 1{\sqrt{\pi}}$ нужно, чтобы размах интеграла был 1 (да-да, та самая нормировка гауссиана), а двойка — чтобы интеграл «шатался» не от –0,5 до 0,5, а от –1 до 1. Если бы не вышеописанное объяснение про смысл дроби 1/2 перед x/σ, то казалось бы, что это отличный аргумент за π. А так достаточно вспомнить о том, что при единичной сигме (а не при той, которая в определении функции ошибок) нормированная функция ошибок, помноженная на 2, должна получиться такой: $$\frac 2{\sqrt{\tau}}\int_0^x e^{-\frac{t^2}2}\,\text{d}t.$$

Интеграл Эйлера — Пуассона

Это интеграл от гауссиана по всей вещественной оси: $$\int_{\mathbb R}e^{-x^2}|\text{d}x| = \sqrt{\pi}.$$ Именно это лежит в основе нормировки гауссиана. Конечно же, учитывая вышесказанное, нельзя это называть аргументом за π. Если переписать через единичную сигму, то будет τ: $$\int_{\mathbb R}e^{-\frac 12x^2}|\text{d}x| = \sqrt{\tau}.$$ Но на этом не всё. Здесь будет показано, что при этой одной второй даже само доказательство этого интеграла оказывается более стройным и естественным, и связано это с тем, что (x²)' = 2x.

Пруф формулы

Заметим, что в произведении $$\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}\text{d}x\right)^2=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}\text{d}x\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12y^2}\text{d}y$$ любую из обеих подынтегральных функций можно безнаказанно «всунуть» под интеграл другого: $$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}2}e^{-\frac{y^2}2}\text{ d}x\text{ d}y=\int_{\mathbb R^2}e^{-\frac{x^2+y^2}2}|\text{d}x\text{ d}y|.$$ Далее, число x² + y² наталкивает на мысль о переводе в полярные координаты: $$\int_0^\tau\int_0^\infty e^{-\frac{r^2}2}r\text{ d}r\text{ d}\theta=\int_0^\tau\text{d}\theta\int_0^\infty e^{-\frac{r^2}2}r\text{ d}r.$$ И при решении последнего интеграла очень хочется занести r под дифференциал, чтобы решать относительно r². В результате с поправкой на коэффициент получится дифференциал от r²/2: $$\int_0^\tau\text{d}\theta\int_{r=0}^\infty e^{\frac{-r^2}2}\text{ d}\frac{r^2}2=\tau\int_{r=\infty}^0 e^{\color{red}\frac{-r^2}2}\text{ d}{\color{red}\frac{-r^2}2}=\tau(e^{-\frac{0^2}2}-e^{-\frac{\infty^2}2})=\tau(e^0-e^{-\infty})=\tau.$$ Таким образом, $$\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}\text{d}x\right)^2=\tau,$$ что и доказывает требуемое.

QED

По сути мы видим, что число тау возникает совершенно непосредственно, а именно — от интеграла $\int_0^\tau\text{d}\theta$. А дробь 1/2 в гауссиане очень естественна не только из-за сигмы, но и из-за того, что, когда мы заносим r под dr, опять возникает 1/2. Благодаря чему, с поправкой на знак, натуральная экспонента от –r²/2 интегрируется ровно относительно выражения –r²/2 — ни больше, ни меньше! Круто, а? Именно поэтому в ходе интегрирования не возникает каких-либо лишних коэффициентов, которые оказались бы эффект на число τ. Нет — получается чистое тау!

Площадь круга

Очередной пример, когда по вине числа τ на квадрат какой-то величины насаживается одна вторая: $$A=\frac 12\tau r^2.$$ Но и тут есть похожее объяснение ситуации. Их даже несколько.

Круговой сектор

Площадь кругового сектора с углом θ радиан равна $$A=\frac 12\theta r^2.$$ Получается, что τr²/2 — просто частный случай при θ = τ.

Треугольник

Поскольку прямая, лежащая на каком угодно бесконечно малом отрезочке из окружности, удалена от центра этой окружности всегда на радиус, то фактически на круг можно переложить формулу площади треугольника, представив круг как криволинейный 3-угольник с высотой r и основанием C: $$A = \frac 12Cr=\frac 12(\tau r)r=\frac 12\tau r^2.$$

Квадратичные формы

В доказательство того, что площадь круга концептуально нельзя понимать как доказательство в пользу пи и что перед квадратичными формами одна вторая просто неизбежна, можно привести примеры других таких форм:

перемещение при свободном падении	$y = \frac12gt^2$
потенциальная энергия пружины	$U = \frac12kx^2$
кинетическая энергия	$K = \frac12mv^2$
энергия катушки	$W = \frac12LI^2$
энергия конденсатора	$W = \frac12CU^2 = \frac12C^{-1}q^2$

Некоторые из них были приведены в статье Майкла Хартла. Все такие выражения получаются интегрированием некоторой линейной функции (как правило, обязательно имеющей физический смысл) по соответствующей переменной. Например, $$y=\int_0v_y\text{ d}t=\int_0gt\text{ d}t=\frac12gt^2,\qquad U=\int_0F\text{ d}x=\int_0kx\text{ d}x=\frac12kx^2,\qquad K=\int_0p\text{ d}v=\int_0mv\text{ d}v=\frac12mv^2.$$ Что касается кинетической энергии, то там можно пойти ещё по другому пути, используя то, что механическая работа — разность кинетических энергий. Но всё равно мы придём к интегрированию линейной функции, после чего снова возникнет 1/2: $$\int F_x\text{ d}x=\int_{v_x=0}m\frac{\text{d}v_x}{\text{d}t}\text{d}x=\int_{v_x=0}(m\text{ d}v_x\frac{\text{d}x}{\text{d}t})=\int_0(m\text{ d}v_x\times v_x)=\frac12mv_x^2.$$ А какой здесь может быть конкретный интеграл для получения площади круга? Можно разбить круг на бесконечно тонкие концентрированные (то есть у которых общий центр) кольца. Площадь каждого из них грубо равна C(r)|Δr| (а если строже, то C(r)|Δr| + ε(r, Δr)Δr, где ε → 0 при Δr → 0). Так как C(r) = τr — это линейная функция, то интегрирование снова даст множитель 1/2: $$\int_{[0,\,r]}C(\tilde r)|\text{d}\tilde r|\underset{r\geq0}=\int_0^r\tau\tilde r\text{ d}\tilde r=\frac12\tau r^2.$$

Площадь правильного многоугольника

В качестве очередного доказательства против τ также предлагается формула площади правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса r: $$n\sin\frac{\pi}n\cos\frac{\pi}n\times r^2.$$ Но заметим, что по формуле двойного угла это можно переписать как $$\frac12n\sin\frac{\tau}n\times r^2.$$ Заметно, что коэффициент 1/2 в таких формулах просто неизбежен и возникает естественным образом. К тому же: $$\frac12\lim_{n\to\infty}(n\sin\frac{\tau}n)\times r^2=\frac12\tau\times r^2.$$

Сумма углов многоугольника

В манифесте числу π приводится формула суммы внутренних углов выпуклого n-угольника, которая выражается через π: $$(n-2)\pi.$$ Но ведь сумма внешних углов равна τ. Причём вне зависимости от n. И у этого факта есть прозрачный геометрический смысл, какого нет у суммы внутренних углов: если все соседние пары вершин многоугольника соединить векторами так, чтобы они образовывали циклическое движение (по этим вершинам), и взять некий испытуемый вектор, который будем накладывать на данные векторы по циклу, то к первому возвращению на «старт» этот вектор совершит τ радиан. Это утверждение можно обобщить на случай плоских замкнутых выпуклых кривых, а если ввести ориентацию угла, то — просто замкнутых кривых. И из суммы внешних углов как раз несложно вывести сумму внутренних, используя определённую перегруппировку слагаемых. В результате которой последняя будет равна $$n\pi-\tau.$$

Тождество Эйлера

Разумеется, тождеством Эйлера называют не совсем то, что описано здесь. На самом деле самым красивым утверждением математики называют следующее: $$e^{i\pi}=-1.$$ А хотя нет… этот минус ведь портит картину, поскольку такое утверждение фактически означает, что поворот на +π — это умножение на –1. Чем же это принципиально лучше, скажем, тождества e^iτ/4 = i? Поэтому более традиционно переписывают как $$e^{i\pi}+1=0,$$ чтобы получилось самое «красивое» тождество, связывающее пять фундаментальных констант математики, в числе которых также понимается и число пи, что на единицу больше, чем в равенстве e^iτ = 1.

И тем не менее важно понимать, что в отличие от тождества с π тождество с τ уже изначально изящно и стройно по своему смыслу: поворот на +τ — умножение на 1. Тогда как в тождестве e^iπ + 1 = 0 манёвр по переносу слагаемого –1 отвлекает от этого геометрического смысла. Но для того, чтобы восстановить баланс из пяти констант, с подачи Хартла можно записать так: $$e^{i\tau}=1+0,$$ что как бы намекает нам: поворот на +τ — умножение на 1 и ни капли больше! Также можно предложить вариант: $$e^{i\tau}=0!=1,$$ который объединяет два фундаментальных утверждения: поворот на τ — умножение на 1; пустое умножение — тоже умножение на 1. Иначе говоря, поворот на плюс один оборот подобно пустому умножению! Подобны они тем, что в сущности всё это — умножение на нейтральный элемент (1).

Гамма-функция полуцелого числа

Манифест числу пи упоминает гамма-функцию от 1/2, равную $\textstyle\sqrt{\pi}.$ А далее из свойства Γ(x + 1) = xΓ(x) получается, что гамма-функция любого полуцелого числа рационально кратна именно корню из π, а не из τ: $$...\Gamma(\frac{-3}2)=\sqrt{\pi}:(\frac{-1}2\frac{-3}2),\qquad\Gamma(\frac{-1}2)=\sqrt{\pi}:\frac{-1}2,\qquad\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi},\qquad\Gamma(\frac32)=\frac12\sqrt{\pi},\qquad\Gamma(\frac52)=\frac32\frac12\sqrt{\pi}...$$ Вот уж мощный удар по тау! Но на самом деле, если раскрыть Γ(1/2) по определению, вообще-то просто получится интеграл Эйлера — Пуассона (относительно x^1/2): $$\Gamma(\frac12)=\int_0^\infty x^{-0,5}e^x\text{d}x\underset{t=x^{0,5}}=2\int_0^\infty e^{-t^2}\text{d}t=\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}\text{d}t,$$ где у гауссиана сигма снова равна единице 2^–0,5.

Гиперсфера и гипершар

В манифесте числа пи упоминаются гиперобъём n-шара V_n и гиперплощадь её поверхности (n-сферы, размерность которой <nobr>n – 1</nobr>) S_n. Они равны $$V_n(r)=\frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}r^n,\qquad S_n(r)=\frac{n\pi^{n/2}}{(n/2)!}r^{n-1}$$ и тем самым, как считается, служат аргументом в пользу π. Но на самом деле простота этих формул с использованием π иллюзорна: если при чётном n факториал ещё как-то можно посчитать простым произведением, то при нечётном требуется использовать обобщённое определение: $$x! = \Gamma(x+1) = \int_0^\infty t^x e^{-t}\text{d}t,$$ то есть фактически интеграл по множеству [0, ∞), что не так уж и элементарно. Чтобы по-честному докопаться до реального смысла этих формул, предъявим их доказательство.

Пруф формул

Заметим, что формула объёма выводится рекуррентно. Однако выводить V_n через V_n–1 не особо выгодно: это получится интеграл $$V_n(1)=\int_{-1}^1V_{n-1}(\sqrt{1^2-x^2})\text{d}x=\int_{-1}^1V_{n-1}(1)\sqrt{1^2-x^2}^{n-1}\text{d}x,$$ вычислению которого, если число n — чётное, будет мешать корень, а даже если число n будет нечётным, получившийся подынтегральный полином всё равно придётся раскрывать по биному Ньютона и рекурретная закономерность, здесь обещанная, будет просто растворяться. Вместо этого адекватнее использовать рекурсию с шагом 2: $$V_n(1)=\iint_{\text{единичный круг}}V_{n-2}(1)\sqrt{1^2-x^2-y^2}^{n-2}|\text{d}x\text{ d}y|=V_{n-2}(1)\int_0^\tau\int_0^1\sqrt{1^2-r^2}^{n-2}r\text{ d}r\text{ d}\theta,$$ так как в последнем интеграле r можно поднести под дифференциал, чтобы решить интеграл относительно r²: $$\begin{align} V_{n-2}(1)\int_0^{\color{red}\tau}\text{d}\theta\cdot\frac12\int_0^1(1-r^2)^\frac{n-2}2\text{d}(r^2) & ={\color{red}\tau}V_{n-2}(1)\cdot\frac12\int_1^0(1-r^2)^\frac{n-2}2\text{d}(1-r^2)= \\ & =\tau V_{n-2}(1)\cdot\frac12\Big[\frac{(1-0^2)^{n/2}}{n/2}-\frac{(1-1^2)^{n/2}}{n/2}\Big]= \\ & =\tau V_{n-2}(1)\cdot\frac1n \\ \end{align}$$ Что касается формулы площади S_n(r), то она представляет собой производную от V_n(r): $$S_n(r)=V_n(1)(r^n)'=nV_n(1)r^{n-1}.$$

Важный вывод

Что мы видим в итоге? Фактически соотношение между V_n(1) и V_n–2(1) равно $$\tau/n.$$ То есть коэффициентом рекурретности является именно число тау! Что касается площадей, то $$\frac{S_n(1)}{S_{n-2}(1)}=\frac{nV_n}{(n-2)V_{n-2}}=\frac{n\tau}{(n-2)n}=\frac\tau{n-2}.$$

По дроби 2π/n так и видна навязчивость этой двойки. Чем же пи лучше тау?