Вектор Хевисайда

Вектор Хевисайда — вектор плотности потока энергии гравитационного поля, входящий в тензор энергии-импульса гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Вектор Хевисайда $~ \mathbf {H}$ можно определить через векторное произведение двух векторов: $$\mathbf {H} = - \frac{c^2}{4\pi G} [ \mathbf \Gamma \times \mathbf {\Omega}],$$

где $~\mathbf \Gamma$ – вектор напряжённости гравитационного поля или гравитационное ускорение, $~ G$ – гравитационная постоянная, $~ \mathbf{\Omega}$ есть напряжённость поля кручения или кручение поля, $~ c$ – скорость света.

Модуль вектора Хевисайда равен количеству гравитационной энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к потоку энергии, в единицу времени. Знак минус в определении $~ \mathbf {H}$ означает, что энергия переносится в направлении, противоположном направлению вектора.

Поток энергии гравитационного поля

Векторная величина $~ \frac {1}{ c}\mathbf {H} =U^{0k}$ представляет собой временные компоненты тензора энергии-импульса гравитационного поля $~ U^{ik}$, при этом индексы тензора i = 0, k = 1,2,3. Для определения потока энергии гравитационного поля через некоторую поверхность необходимо проинтегрировать вектор $~ \mathbf { H }$ по площади этой поверхности с учётом её движения в рассматриваемой системе отсчёта. При таком интегрировании учитывается взаимная ориентация векторов $~ \mathbf { H }$ и нормали к поверхности, причём ориентация вектора нормали и площадь поверхности зависят от скорости и направления движения поверхности вследствие эффектов специальной теории относительности. В общей теории относительности появляются дополнительные эффекты, возникающие от искривления пространства-времени.

Теорема Хевисайда

Из закона сохранения энергии и потока энергии для вещества в гравитационном поле в рамках Лоренц-инвариантной теории гравитации следует теорема Хевисайда: $$\nabla \cdot \mathbf {H} = - \frac{\partial {U^{00}}}{\partial {t}} - \mathbf {J} \cdot \mathbf {\Gamma } ,$$

где $~ \mathbf {J}$ есть плотность тока массы.

Согласно данной теореме, втекающая в некоторый объём гравитационная энергия в виде плотности потока энергии $~ \mathbf {H}$ расходуется на увеличение энергии поля $~ U^{00}$ в данном объёме, и на совершение гравитационной работы с ускорением $~ \mathbf {\Gamma }$ плотности массового тока $~ \mathbf {J}$.

Плоские волны

Максвеллоподобные гравитационные уравнения, в форме которых представляются уравнения Лоренц-инвариантной теории гравитации, позволяют определить свойства плоских гравитационных волн от любых точечных источников поля. В плоской волне вектора $~\mathbf \Gamma$ и $~ \mathbf{\Omega}$ взаимно перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны, а для амплитуд выполняется соотношение $~ \Gamma_0=c \Omega_0$.

Если считать, что волна бежит в одном направлении, для напряжённостей полей можно записать: $$~ \Gamma ( \mathbf{r}, t ) = \Gamma_0 \cos ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ),$$ $$~ \Omega ( \mathbf{r}, t ) = \Omega_0 \cos ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}),$$

где $~ \omega$ и $~ \mathbf{k}$ есть угловая частота и волновой вектор волны.

Тогда для потока гравитационной энергии будет: $$H( \mathbf{r}, t ) = - \frac{c^2}{4\pi G} \Gamma_0 \Omega_0 \cos^2 ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ) =- \frac{c}{4\pi G} \Gamma^2_0 \cos^2 ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ) .$$

Среднее по времени и пространству от квадрата косинуса равно ½, поэтому: $$\left\langle H( \mathbf{r}, t ) \right\rangle = - \frac{c}{8\pi G} \Gamma^2_0.$$

На практике следует учитывать, что картина волн в гравитационно связанной системе тел скорее носит квадрупольный, чем дипольный характер, поскольку при излучении следует учитывать вклады всех источников поля, часть которых движется в противоположных направлениях. По принципу суперпозиции вначале нужно просуммировать в каждой точке пространства все имеющиеся там поля $~\mathbf \Gamma$ и $~ \mathbf{\Omega}$, найти их как функции координат и времени, и только затем вычислять через полученные суммарные величины поток энергии в виде вектора Хевисайда.

Гравитационное давление

Пусть имеется поток гравитационной энергии, падающий на некоторую единичную материальную площадку, поглощающую всю энергию. Тогда максимально возможное гравитационное давление равно: $$p= \mid \frac{\langle H \rangle}{ c} \mid =\frac {\Gamma^2_0}{8\pi G } ,$$ где $\langle H\rangle$ есть среднее значение вектора Хевисайда, $~ \Gamma_0$ – амплитуда вектора напряжённости гравитационного поля падающей плоской гравитационной волны.

Формулу для максимального давления можно понять из определения давления как силы $~ F$, приложенной к площади $~ S$, определения силы как изменения энергии поля $~ \Delta E$ на пути волны $~ \Delta x$за время $~ \Delta t$, при условии, что $~ c \Delta t=\Delta x$: $$p=\frac {F}{S}= \frac {\Delta E }{\Delta x S}= \frac {\Delta E }{ c \Delta t S} =\mid \frac{\langle H \rangle}{ c} \mid .$$

Поскольку поток гравитационной энергии проходит через тела с малым поглощением в них, для вычисления давления следует брать разность между падающим и исходящим потоками энергии.

История

Представление о потоке гравитационной энергии впервые появилось в работах Оливера Хевисайда. Ранее были определены вектор Умова для потока энергии в веществе (1874 г.) и вектор Пойнтинга (1884 г.) для потока электромагнитной энергии.

Вектор Хевисайда имеет тот же вид, что был использован в работах Krumm and Bedford, Fedosin, H. Behera and P. C. Naik.

См. также

• Вектор Умова
• Вектор Пойнтинга
• Гравитоэлектромагнетизм
• Напряжённость гравитационного поля
• Поле кручения
• Лоренц-инвариантная теория гравитации
• Максвеллоподобные гравитационные уравнения
• Ковариантная теория гравитации

Внешние ссылки

• Heaviside vector