Геометрия
Геоме́трия (греч. γη — Земля, μετρηω — мерю) — раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения.
В геометрии можно условно выделить следующие разделы:
- Элементарная геометрия — геометрия точек, прямых и плоскостей, а также фигур на плоскости и тел в пространстве.
Включает в себя планиметрию и стереометрию.
- Аналитическая геометрия — геометрия координатного метода. Изучает линии, векторы, фигуры и преобразования, которые задаются алгебраическими уравнениями в аффинных или декартовых координатах, методами алгебры.
- Дифференциальная геометрия и топология изучает линии и поверхности, задающиеся дифференцируемыми функциями, а также их отображения.
- Топология — наука о понятии непрерывности в самом общем виде.
ИсторияПравить
Традиционно считается, что родоначальниками геометрии являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в науку. Превращение это произошло путём абстрагирования от всяких свойств тел, кроме взаимного положения и величины. Наукой геометрия стала, когда от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей. Греки составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд и поныне остаётся образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и недоказываемых предположений — аксиом. Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.
Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.
Теоретико-групповые принципы геометрииПравить
В 1872 году немецкий учёный Ф. Клейн в своей лекции, получившее в дальнейшем название «Эрлангенская программа Клейна», сформулировал общие принципы геометрии. Их смысл состоит в том, что каждая геометрия имеет своим предметом те и только те свойства фигур, которые инвариантны относительно какой-либо определённой группы преобразований. В этом смысле каждую геометрию следует называть геометрией данной группы преобразований. Существует очень много различныый геометрий: они порождаются различными группами и множествами, в которых эти группы действуют.
Если на одном и том же множестве X, подмножества которого мы будем называть фигурами, дейcтвует группа преобразований G и её подгруппа , то геометрия группы G будет менее богата фактами, нежели геометрия группы , так как чем больше преобразований содержит группа, тем меньше остаётся фактов, инвариантных относительно этих преобразований. Но при этом геометрия более широкой группы состоит из «более устойчивых» фактов, присущих более обширным классам эквивалентности, и потому более глубоких.
Приведём пример. Рассмотрим три группы, действующих на евклидовой плоскости: группу движений D, подобий M и аффинных преобразований A. Каждая из трёх групп в этом ряду является подгруппой следующей: . В геометрии группы D (евклидовой геометрии) все треугольники разбиваются на классы равных между собой треугольников, в геометрии группы M — на более широкие классы подобных треугольниов, а в геометрии группы A (аффинной геометрии) все треугольники эквивалентны (то есть образуют один класс). В геометрии группы D имеет место теорема Пифагора a²+b²=c², где a и b — катеты, а c — гипотенуза прямоугольного треугольника. В геометрии группы M эта теорема, записанная в виде , тоже имеет место, так как при преобразовании подобия отношение отрезков и величина углов сохраняется, в геометрии группы A понятия прямоугольного треугольника нет. Понятие высоты есть в геометрии групп D и M, понятие медианы и центра тяжести есть в геометрии всех трёх групп.