Действие группы

Говорят, что группа GG действует на множестве MM, если задан гомоморфизм Φ:GS(M)\Phi:G\to S(M) из группы GG в группу S(M)S(M) всех перестановок множества MM. Для краткости (Φ(g))(m)(\Phi(g))(m) часто записывают как gmg m .

Другими словами, группа GG действует на множестве MM, если задано отображение G×MMG\times M\to M (обозначаемое (g,m)gm(g,m)\mapsto gm), такое что

  1. (gh)m=g(hm)(gh)m = g(hm) для всех g,hGg,h\in G, mMm\in M и
  2. em=m,em = m, где ee есть единица GG.

Типы действийПравить

  • Свободное, если для любых различных g,hGg, h\in G и любого mMm\in M выполняется gmhmgm \ne hm.
  • Транзитивное если для любых m,nMm,n\in M существует gGg\in G такой, что gm=ngm = n. Другими словами, действие транзитивно, если Gm=MGm = M для любого элемента mMm\in M.
  • Эффективное, если для любых g,hGg, h\in G существует mMm\in M такой, что gmhmgm \not= hm.

ОрбитыПравить

Подмножество Gm={gmgG}MG m = \{ gm\mid g\in G \}\subset M называется орбитой элемента mMm\in M.

Действие группы GG на множестве MM определяет на нём отношение эквивалентности n,mM(nGm)(gG  gn=m)(Gn=Gm).\forall n, m\in M\qquad \left(n\sim_G m\right)\quad \Longleftrightarrow\quad\left(\exists g\in G\ \ gn=m\right)\quad\Longleftrightarrow\quad\left(Gn=Gm\right). При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно kk, то M=Gm1Gm2Gmk,M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k, где m1,m2,,mkMm_1, m_2, \dots, m_k\in M попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k=1k=1.

СтабилизаторыПравить

Подмножество Gm={gGgm=m}GG_m = \{ g\in G\mid gm=m \}\subset G является подгруппой группы GG и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента mMm\in M.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если nGmn\sim_G m, то найдется такой элемент gGg\in G, что Gm=gGng1.G_m=g\, G_n\, g^{-1}.

Количество элементов в орбитеПравить

|Gm|=[G:Gm],|G m|=[G:G_m], где [G:Gm][G:G_m]индекс подгруппы GmGG_m\subset G, в случае конечных групп равен |G||Gm|\frac{|G|}{|G_m|}.

Если M=Gm1Gm2GmkM = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k, то |M|=t=1k[G:Gmt]|M| = \sum_{t=1}^k [G:G_{m_t}]формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества mMnGm|Gn|=|G|\forall m\in M\quad \sum_{n\in Gm} |G_n| = |G| mM|Gm|=k|G|\sum_{m\in M} |G_m| = k |G| и лемму Бернсайда.

Примеры действийПравить

Действия на себеПравить

СлеваПравить

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, M=GM = G и гомоморфизм Φ:GS(G)\Phi:G\to S(G) задан как (Φ(g))(h)=gh(\Phi(g))(h)=g h.

СправаПравить

Аналогично определяется действие на себе справа, (Φ(g))(h)=hg1(\Phi(g))(h)=h g^{-1}.

Слева и справаПравить

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения G×G G\times G на M=GM = G с гомоморфизмом Φ:G×GS(G)\Phi:G\times G\to S(G) заданым как (Φ(g1,g2))(h)=g1hg21(\Phi(g_1,g_2))(h)=g_1 h g_2^{-1}.

СопряжениямиПравить

Пусть M=GM = G и гомоморфизм Φ:GS(G)\Phi:G\to S(G) задан как (Φ(g))(h)=ghg1(\Phi(g))(h)=g h g^{-1}. При этом для каждого элемента hGh\in G стабилизатор GhG_h совпадает с централизатором C(h)C(h): Gh={gGghg1=h}={gGgh=hg}=C(h).G_h = \{ g\in G\mid ghg^{-1}=h\} = \{ g\in G\mid gh=hg\} = C(h). Например, для элемента hh из центра группы GG (т.е. hZ(G)h\in Z(G)) имеем C(m)=GC(m)=G и Gh=G G_h=G.

ЛитератураПравить

  • Винберг Э.Б. "Курс алгебры" - 3-е издание, М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002, ISBN 5-88688-0607
  • Кострикин А. И. "Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры": Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. - ISBN 5-9221-0489-6.

pms:Assion