Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается $D[X]$ в русской литературе и $\operatorname{Var}(X)$ (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение $\sigma_X^2$ или $\displaystyle \sigma^2$. Квадратный корень из дисперсии, равный $\displaystyle \sigma$, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на k стандартных отклонений, составляет менее 1/k². Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение

Пусть $X$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда $$D[X] = M\left[|X -M[X]|^2\right]$$

где символ $M$ обозначает математическое ожидание.

Замечания

• Если случайная величина $X$ вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

  $D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;$

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов $U(t)$:

  $D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2 = U''(0) - \left(U'(0)\right)^2$

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
• Удобная формула для вычисления дисперсии случайной последовательности $X_1... X_n$:

  $\! D=\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)}{n}^2}{n}$

Однако, т.к. оценка дисперсии является смещённой, то для её подсчёта необходимо дополнительно умножать на $\frac{n}{n - 1}$. Таким образом, итоговая формула будет выглядеть:

$$\! D=\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)}{n}^2}{n - 1}$$

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: $D[X] \geqslant 0;$
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: $D[a] = 0.$ Верно и обратное: если $D[X]=0,$ то $X =M[X]$ почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  $\! D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y)$, где $\! \text{cov}(X, Y)$ — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  $\! D\left[\sum_{i=1}^n c_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n c_i^2 D[X_i] + 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} c_i c_j\, \text{cov}(X_i, X_j)$, где $c_i \in \R$;

• В частности, $D[X_1 + ... + X_n] = D[X_1] + ... + D[X_n]$ для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
• $D\left[aX\right] = a^2D[X];$
• $D\left[-X\right] = D[X];$
• $D\left[X+b\right] = D[X].$

Пример

Пусть случайная величина $\displaystyle X$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на $\displaystyle [0,1],$ то есть её плотность вероятности задана равенством $$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end{matrix} \right.$$

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины $$M\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},$$ и математическое ожидание случайной величины $$M\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.$$ Тогда дисперсия случайной величины $$D[X] = M\left[X^2\right] - (M[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.$$

См. также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение

Литература

• Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259^{о книге}
• Орлов А. И. Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.^{о книге}