Дифференциальное уравнение

Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Математика

Дифференциа́льное уравне́ниеуравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   f ( x ) = f ( f ( x ) ) \ f'(x)=f(f(x)) не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y ( x ) , y ( x ) , . . . , y ( n ) ( x ) y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравненияПравить

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида F ( t , x , x , x , . . . , x ( n ) ) = 0 F\left(t,x,x^\prime,x^{\prime\prime},...,x^{(n)}\right)=0\! или F ( t , x , d x d t , d 2 x d t 2 , . . . , d n x d t n ) = 0 F\left(t,x,\frac{dx}{dt},\frac{d^{2}x}{dt^2},...,\frac{d^{n}x}{dt^n}\right)=0 , где   x = x ( t ) ~x=x(t)  — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени   t ~t , штрих означает дифференцирование по   t ~t . Число   n ~n называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производныхПравить

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде: F ( x 1 , x 2 , , x m , z , z x 1 , z x 2 , , z x m , 2 z x 1 2 , 2 z x 1 x 2 , 2 z x 2 2 , , n z x m n ) = 0 , F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0, где x 1 , x 2 , , x m x_1, x_2,\dots, x_m — независимые переменные, а z = z ( x 1 , x 2 , , x m ) z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m) — функция этих переменных.

ПримерыПравить

y + 9 y = 0 y^{\prime\prime}+9y=0  — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций y = ( C 1 cos  Косинус  ( 3 x ) + C 2 sin  Синус  ( 3 x ) ) y = (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) , где C 1 C_1 и C 2 C_2  — произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения m d 2 x d t 2 = F ( x , t ) m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t) , где m m  — масса тела, x x  — его координата, F ( x , t ) F(x,t)  — сила, действующее на тело с координатой x x в момент времени t t . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

Колебание струны задается уравнением 2 u t 2 = a 2 2 u x 2 \frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} , где u = u ( x , t ) u=u(x,t)  — отклонение струны в точке с координатой x x в момент времени t t , параметр a a задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

УчебникиПравить

  • В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
  • Л.С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974
  • Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
  • А. Н. Тихонов, Васильева А.Б., А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4е изд., Физматлит, 2005* А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.