Интеграл Римана

ПонятиеПравить

Рассмотрим вещественную функцию   f ( x ) ~f(x) , определённую на отрезке   [ a , b ] ~[a,b] , то есть x [ a , b ] x\in[a,b] .

На отрезке   [ a , b ] ~[a,b] зададим разбиение \(~a = x_0

Положим   Δ x i = x i x i 1 , i = 1 n ~\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\; i=1\dots n .

Диаметром разбиения называется наибольшая из длин таких отрезков, то есть   Δ = max Δ x i ~\Delta = \max\Delta x_i .

На каждом отрезке разбиения отметим по точке ξ i [ x i 1 , x i ] \xi_i\in[x_{i-1},x_i] .

Интегральной суммой будет называться сумма площадей прямоугольников с основанием   [ x i 1 , x i ] ~[x_{i-1}, x_i] и высотой   f ( ξ i ) ~f(\xi_i) , то есть:
i = 1 n Δ x i f ( ξ i ) \sum_{i=1}^n \Delta x_i f(\xi_i) .

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю существует предел последовательности интегральных сумм, то функция   f ( x ) ~f(x) называется интегрируемой по Риману, а предел — определённым интегралом Римана, и обозначается
a b f ( x ) d x \int_a^b f(x)\,dx

Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что он представляет из себя площадь криволинейной трапеции, то есть фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции и осями   x = a ~x=a ,   x = b ~x=b .

Необходимое условие интегрируемости функцийПравить

Теорема. Для того, чтобы функция   f ( x ) ~f(x) , определённая на отрезке   [ a , b ] ~[a,b] , была интегрируема на нём по Риману, необходимо, чтобы она была ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Предположим, что   f ( x ) ~f(x) не ограничена на отрезке   [ a , b ] ~[a,b] . Тогда для каждого разбиения найдётся хотя бы один отрезок   [ x k 1 , x k ] ~[x_{k-1},x_k] , на котором функция окажется неограниченной. Но тогда в интегральной сумме хотя бы одно слагаемое   Δ x k f ( ξ k ) ~\Delta x_k f(\xi_k) будет произвольно большим, и тогда последовательность интегральных сумм сходящейся быть не может. Значит, функция не интегрируема, что противоречит предполагаемому.

ЗамечаниеПравить

Не всякая ограниченная функция является интегрируемой.

Верхние и нижние интегральные суммыПравить

Пусть   m i = inf x [ x i 1 , x i ] f ( x ) ~m_i = \inf_{x\in[x_{i-1}, x_i]} f(x) , то есть точная нижняя грань функции на отрезке, а   M i = sup x [ x i 1 , x i ] f ( x ) ~M_i = \sup_{x\in[x_{i-1}, x_i]} f(x) , то есть точная верхняя грань функции на отрезке.

Суммы   s = i = 1 n m i Δ x i ~s = \sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i и   S = i = 1 n M i Δ x i ~S = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i называются нижней и верхней интегральной суммой соответственно.

Свойства верхних и нижних суммПравить

  1. Для любого фиксированного разбиения   T ~T и для любого   ε > 0 ~\varepsilon>0 промежуточные точки   ξ i ~\xi_i на их отрезках можно выбрать таким образом, что интегральная сумма   I ~I будет удовлетворять неравенствам:
      0 S I < ε ~ 0 \le S - I < \varepsilon . Точки   ξ i ~\xi_i можно выбрать и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам:
      0 I s < ε ~ 0 \le I - s < \varepsilon .
  2. Если разбиение   T ~T' получено путём добавления новых точек к разбиению   T ~T , то верхняя сумма   S ~S' разбиения   T ~T' не больше верхней суммы   S ~S разбиения   T ~T , а нижняя сумма   s ~s' разбиения   T ~T' не меньше нижней суммы   s ~s разбиения   T ~T . Т.е.:
      s s , S S ~s \le s',\, S' \le S .

ЛитератураПравить

  1. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — М.: МЦНМО, 2002.
  2. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть I — М.: Наука, 1982.