Интеграл Римана
ПонятиеПравить
Рассмотрим вещественную функцию , определённую на отрезке , то есть .
На отрезке зададим разбиение \(~a = x_0
Положим .
Диаметром разбиения называется наибольшая из длин таких отрезков, то есть .
На каждом отрезке разбиения отметим по точке .
Интегральной суммой будет называться сумма площадей прямоугольников с основанием и высотой , то есть:
.
Если при стремлении диаметра разбиения к нулю существует предел последовательности интегральных сумм, то функция называется интегрируемой по Риману, а предел — определённым интегралом Римана, и обозначается
Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что он представляет из себя площадь криволинейной трапеции, то есть фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции и осями , .
Необходимое условие интегрируемости функцийПравить
Теорема. Для того, чтобы функция , определённая на отрезке , была интегрируема на нём по Риману, необходимо, чтобы она была ограничена на этом отрезке.
- Доказательство. Предположим, что не ограничена на отрезке . Тогда для каждого разбиения найдётся хотя бы один отрезок , на котором функция окажется неограниченной. Но тогда в интегральной сумме хотя бы одно слагаемое будет произвольно большим, и тогда последовательность интегральных сумм сходящейся быть не может. Значит, функция не интегрируема, что противоречит предполагаемому.
ЗамечаниеПравить
Не всякая ограниченная функция является интегрируемой.
Верхние и нижние интегральные суммыПравить
Пусть , то есть точная нижняя грань функции на отрезке, а , то есть точная верхняя грань функции на отрезке.
Суммы и называются нижней и верхней интегральной суммой соответственно.
Свойства верхних и нижних суммПравить
- Для любого фиксированного разбиения и для любого промежуточные точки на их отрезках можно выбрать таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам:
. Точки можно выбрать и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам:
. - Если разбиение получено путём добавления новых точек к разбиению , то верхняя сумма разбиения не больше верхней суммы разбиения , а нижняя сумма разбиения не меньше нижней суммы разбиения . Т.е.:
.
ЛитератураПравить
- Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — М.: МЦНМО, 2002.
- В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть I — М.: Наука, 1982.