Локальный минимум

Локальный минимумминимум (точка минимума), наблюдающийся в некоторой ограниченной окрестности вокруг себя на области значений функции. Локальный минимум может быть глобальным, если он является минимальным среди всех локальных минимумов функции.

ОпределениеПравить

Пусть дана функция Undefined control sequence \R f : M \subset \R \to \R , и x 0 M 0 x_0 \in M^0  — внутренняя точка области определения f f . Тогда x 0 x_0 называется точкой локального минимума функции f f , если существует проколотая окрестность U ˙ ( x 0 ) \dot{U}(x_0) такая, что

x U ˙ ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0) .

Если неравенство выше строгое, то x 0 x_0 называется точкой строгого локального минимума.

Данное определение может быть распространено на произвольные функции, для типов результатов которых имеют смысл операции сравнения ( > > ) и ( \ge ).

Необходимые и достаточные условия существованияПравить

  • Необходимое условие (лемма Ферма). Пусть функция f D ( x 0 ) f \in \mathcal{D}(x_0) дифференцируема в точке локального экстремума x 0 x_0 . Тогда
f ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 .
  • Достаточное условие. Пусть функция f C ( x 0 ) f \in C(x_0) непрерывна в x 0 M 0 x_0 \in M^0 , и существуют конечные или бесконечные односторонние производные
f + ( x 0 ) > 0 , f ( x 0 ) < 0 f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0 .

Тогда x 0 x_0 является точкой строгого локального минимума.

См. такжеПравить