Математический вектор

Вектор

\overrightarrow{AB}

У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор.

Ве́ктор — понятие, широко используемое в математике, изначально возникшее как геометрическая абстракция объектов, характеризуемых одновременно направлением и величиной (таких как скорость, момент силы) — направленный отрезок в евклидовом пространстве, обобщённое до представления в виде упорядоченной последовательности $n$ компонент в $n$ -мерном пространстве (и в развитие этой интерпретации используется в информатике для обозначения последовательности однородных элементов) и до произвольного элемента алгебры, определённой над полем. Во всех случаях вместе с вектором определяется сопутствующее понятие скаляра — объекта, характеризующегося только величиной (число, компонента $n$ -мерного пространства, элемент поля), определяются операции умножения вектора на скаляр, скалярного произведения двух векторов (комбинации векторов, дающей в результате скаляр).

Является одним из основополагающих понятий линейной алгебры. При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе матрицы, тензоры, однако, при наличии в окружающем контексте этих объектов, под вектором понимаются соответственно вектор-строка или вектор-столбец, тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в векторном исчислении.

В геометрических интерпретациях векторы обозначаются буквами с чертой или стрелкой сверху ( $\bar a$ , $\vec a$ ) или обозначением точек, объединёнными стрелкой сверху ( $\overrightarrow{AB}$ ), в алгебраических интерпретациях — прямым жирным шрифтом ( $\mathbf a$ ), встречаются и другие обозначения.

Набор всех физических цветов можно интерпретировать как математические векторы в бесконечномерном векторном пространстве, более узко — в гильбертовом пространстве (en:Hilbert_space). Его называют цветовым пространством, H_color.

Средняя точка треугольника X

Место физических цветов можно интерпретировать как симплексы (геометрические фигуры, являющаяся n-мерными обобщениями треугольников) в (математическом) конусе, вершины которого — спектральные цвета. Белый цвет (свет) располагается на оси (в точке пересечения оси и основания конуса) (en:Centroid) симплекса, черно-белый — только на оси конуса (внизу — чёрный, вверху — белый, между ними — оттенки серого), и монохроматические цвета, связанные с осью с любой данной вершиной где-нибудь по линии оси от этих вершин в любых плоскостях сечений конусов в зависимости от их яркости. (Максимально яркие цвета спектра располагаются в плоскости наибольшего диаметра сечений конусов, в середине оси).

Общее определениеПравить

В евклидовом пространствеПравить

Вектор в арифметическом $n$ -мерном пространстве является частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре: если

в качестве поля $\mathfrak F= \mathbb R = \langle \mathbb R;+,* \rangle$ взять поле вещественных чисел $\mathbb R$ с их обычными операциями сложения и умножения;
n-мерное пространство $\mathfrak V= \mathbb R^n= \langle \mathbb R^n;+ \rangle$ задать как декартову степень множества вещественных чисел $\mathbb R$ ;
точку — как кортеж $(a_1,...,a_n)$ длины n из вещественных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек;
операцию «+» для $\mathfrak V$ задать следующим образом: $(a_1,...,a_n)+(b_1,...,b_n)=(a_1+b_1,...,a_n+b_n)$ ,
нейтральный элемент: $\mathbf 0$ =(0,…,0),
обратный элемент: $-(a_1,...,a_n)=(-a_1,...,-a_n)$ ;
операцию умножения на скаляр задать выражением $a(a_1,...,a_n)=(a*a_1,...,a*a_n)$

— тогда алгебраический вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из вещественных чисел, является

арифметическим вектором векторного пространства $\mathbb R^n$ над полем вещественных чисел $\mathbb R$ .

Вектор в планарной евклидовой геометрии (связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор — вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве. Однако, прямую и отрезок можно задать через вектор, определённый алгебраически:

Прямая, на которой лежит ненулевой вектор $\mathbf a$ с началом в точке $M_0=(m_1,...,m_n)$ , заданный свободным вектором с пространственными координатами $(a_1,...,a_n)$ — множество точек $(x_1,...,x_n)$ , удовлетворяющее условию $\frac{x_1-m_1}{a_1}=\frac{x_2-m_2}{a_2}=...=\frac{x_n-m_n}{a_n}$

Отрезок MN — множество всех точек O (удовлетворяющих условию $min(x_{i_M},x_{i_N}) \leqslant x_{i_O} \leqslant max(x_{i_M},x_{i_N}), 1 \leqslant i \leqslant n$ ), все различные точки которого принадлежат одной прямой. Точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введении операций получения скалярного произведения двух векторов, угла между векторами и длины вектора, как расстояния между начальной и конечной точками вектора (см. ниже), векторное пространство $\mathbb R^n$ становится евклидовым нормированным пространством и

при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства;
при n=2 — плоскости этого пространства;
при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю;
при n=0 существует только одна точка (задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор;
пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трёхмерно.

Скалярное произведение в этом случае определяется по формуле: $\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$ , где $a_i,b_i$ — пространственные координаты векторов $\mathbf a,\mathbf b$

Длина вектора $|\mathbf a|=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n} {X_i}^2 },$ где $X_i$ — пространственные координаты вектора.

Угол между двумя векторами $\mathbf a,\mathbf b$ определяется через скалярное произведение $\cos \theta = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{|\mathbf a||\mathbf b|} ,$ где $a_i,b_i$ — пространственные координаты векторов $\mathbf a,\mathbf b$ .

Вектор в линейном пространствеПравить

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис $\vec{e_1},...,\vec{e_n}\in L$ , то $\forall \vec{x}\in L \exists \alpha_1,..,\alpha_n\in F: \vec{x} = \sum_{i=1}^n\alpha_i \vec{e_i}$ , где $F$ — это поле, над которым определенно линейное пространство $L$ .

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис $\vec{e_1},...,\vec{e_n}$ и $\vec{f_1},...,\vec{f_n}$ . Причём: $\vec{e_i} = \sum_{j=1}^n p_{ij} \vec{f_j}$ . Матрица $P_{ef}$ , полученная из коэффициентов $p_{ij}$ называться матрицей перехода от базиса $e$ к базису $f$ и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: $\vec{x_e}= P_{ef} \vec{x_f}$ . Связь между матрицами перехода между двумя базисами: $P_{ef} = P_{fe}^{-1}$ . Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.