Модель Лотки-Вольтерры

Модель Лотки-Вольтерры — математическая модель системы «хищник-жертва», предложенная независимо друг от друга А. Дж. Лоткой в 1925 и Вито Вольтеррой в 1926. Является частным случаем обобщённых уравнений Лотки-Вольтерры; также может считаться частным случаем уравнений Арриджи-Гинцбурга.

ДопущенияПравить

Предполагается, что ареал закрыт, пропитания для травоядных жертв в избытке, а сами они — единственная пища хищников.

МодельПравить

Если численность травоядных — x x , а хищников — y y , то потери травоядных от хищников в единицу времени будут пропорциональны вероятности их встречи, в свою очередь, пропорциональной численности тех и других, и составят β x y \beta x y . Часть съеденного хищники направят на размножение, которое составит δ x y \delta x y ; очевидно, что δ β \delta \ll \beta .

Далее, если обозначить коэффициент естественного прироста травоядных как α \alpha , а коэффициент естественной убыли хищников без пищи — γ \gamma , то изменение численности тех и других будет описываться системой уравнений:

(1) { d x d t = x ( α β y ) d y d t = y ( γ + δ x ) \begin{equation} \label{lv} \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = x \left( \alpha - \beta y \right) \\ \dfrac{dy}{dt} = y \left( - \gamma + \delta x \right) \end{cases} \end{equation}

РешенияПравить

РавновесиеПравить

Равновесие в системе описывается уравнениями: { d x d t = x ( α β y ) = 0 d y d t = y ( γ + δ y ) = 0 \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = x \left( \alpha - \beta y \right) = 0 \\ \dfrac{dy}{dt} = y \left( -\gamma + \delta y \right) = 0 \end{cases}

Эта система имеет два решения: x ¯ = y ¯ = 0 \bar{x} = \bar{y} = 0 , соответствующее полному вымиранию, и

(2) { x ¯ = γ δ y ¯ = α β \begin{equation} \label{stable} \begin{cases} \bar{x} = \dfrac{\gamma}{\delta} \\ \bar{y} = \dfrac{\alpha}{\beta} \end{cases} \end{equation}

Малые колебанияПравить

Предположим, что численность хищников и жертв незначительно отклоняется от ненулевого равновесия: x = x ¯ + x ~ x = \bar{x} + \tilde{x} , x ~ x ¯ \tilde{x} \ll \bar{x} , y = y ¯ + y ~ y = \bar{y} + \tilde{y} , y ~ y ¯ \tilde{y} \ll \bar{y} . Тогда, с учётом выведенных производных (1) \eqref{lv} , формул (2) \eqref{stable} для  x ¯ \bar{x} и  y ¯ \bar{y} и того, что x ~ y ~ \tilde{x}\tilde{y}  — бесконечно малая более высокого порядка, чем x ~ \tilde{x} и y ~ \tilde{y} :

{ d x ~ d t = d x d t = x ( α β y ) = ( x ¯ + x ~ ) ( α β ( y ¯ + y ~ ) ) = β γ δ y ~ d y ~ d t = d y d t = y ( γ + δ x ) = ( y ¯ + y ~ ) ( γ + δ ( x ¯ + x ~ ) ) = α δ β x ~ \begin{cases} \dfrac{d\tilde{x}}{dt} = \dfrac{dx}{dt} = x \left( \alpha - \beta y \right) = \left( \bar{x} + \tilde{x} \right) \left( \alpha - \beta \left( \bar{y} + \tilde{y} \right) \right) = - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} \\ \dfrac{d\tilde{y}}{dt} = \dfrac{dy}{dt} = y \left( -\gamma + \delta x \right) = \left( \bar{y} + \tilde{y} \right) \left( - \gamma + \delta \left(\bar{x} + \tilde{x} \right) \right) = \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} \end{cases}

Продифференцировав оба уравнения ещё раз и подставив их же в результат, получим:

{ d 2 x ~ d t 2 = d d t ( d x ~ d t ) = d d t ( β γ δ y ~ ) = β γ δ × d y ~ d t = β γ δ × α δ β x ~ = α γ x ~ d 2 y ~ d t 2 = d d t ( d y ~ d t ) = d d t ( α δ β x ~ ) = α δ β × d x ~ d t = α δ β × β γ δ y ~ = α γ y ~ \begin{cases} \dfrac{d^2\tilde{x}}{dt^2} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\tilde{x}}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt} \left( - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} \right) = - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \times \dfrac{d\tilde{y}}{dt} = - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \times \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} = - \alpha\gamma\tilde{x} \\ \dfrac{d^2\tilde{y}}{dt^2} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\tilde{y}}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} \right) = \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \times \dfrac{d\tilde{x}}{dt} = \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \times - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} = - \alpha\gamma\tilde{y} \end{cases}

Оба полученных уравнения описывают гармонический осциллятор с периодом T = 2 π α γ T = \frac{2\pi}{\sqrt{\alpha\gamma}} . Амплитуды и сдвиг фаз колебаний будут определяться отклонением первоначальных значений x ~ 0 \tilde{x}_0 и  y ~ 0 \tilde{y}_0 от положения равновесия.

См. такжеПравить