Напряжённость электрического поля

Напряжённость электрического по́ля — векторная характеристика электрического поля в данной точке, равная отношению силы $\vec F$, действующей на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда $q$: $$\vec E= \frac{\vec F}{q}.$$

$\vec E$ по сути задает само векторное поле, поскольку его величина и направление меняется в пространстве от точки к точке.

Напряженность электрического поля точечного заряда

Для системы СИ (система единиц)

Используя потенциал

Вектор $\vec E$ выражается как градиент потенциала, взятый с обратным знаком: $\vec E = - \nabla \varphi$. К примеру, для точечного заряда, исходя из закона Кулона $\varphi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$. Так как эквипотенциальные поверхности являются в этом случае сферами, то производная по нормали есть производная по радиусу. Таким образом мы можем прийти к так называемому кулоновскому полю: $$E = - \frac{\partial \varphi}{\partial n}= -\frac{\partial }{\partial r } \left( \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r} \right)= \frac{q}{ 4 \pi \varepsilon_0 r^2}.$$ Используя теорему Остроградского — Гаусса

Из формулы Остроградского-Гаусса, вектор $\vec E$, можно определить, зная плотность распределения зарядов. Согласно Формуле О-Г, а также используя уравнение Максвелла $\operatorname{div}{\vec E}=\varepsilon_0^{-1} \rho$, легко получить: $$\oint\limits_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \int\limits_V \operatorname{div}{\vec E} \mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_0} \int\limits_V \rho \mathrm{d}V = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0},$$ где $q_{in}$ — заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S, объемом V. В качестве поверхности интегрирования возьмем сферу (центральная симметрия), тогда $$\oint\limits_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = E \oint\limits_S \mathrm{d}\vec{S} = E \cdot 4 \pi r^2$$ И самоочевидно: $$E=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}.$$

Как и следовало ожидать, результаты полностью совпали.

Для системы СГС

Рассуждения аналогичны, вся разница лишь в том, что изменяется вид потенциала $\varphi = \frac{q}{r}$, уравнение Максвелла $\operatorname{div}{\vec E}=4 \pi \rho$ и $\varepsilon_0 = 1$. В итоге, получаем в системе СГС: $$E=\frac{q}{r^2}.$$

Системы единиц

В системе СГС напряжённость электрического поля измеряется в СГСЭ единицах, в системе СИ (система единиц) — в Ньютонах на Кулон или в Вольтах на метр (В/м или V/m).

См. также

• Электрическая индукция
• Уравнения Максвелла