Оператор производной по собственному времени

Оператор производной по собственному времени является дифференциальным оператором и релятивистским обобщением производной Лагранжа (субстанциональной производной) на четырёхмерное пространство-время. В координатной записи данный оператор записывается следующим образом: $$~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu ,$$

где $~ D$ – символ дифференциала в искривлённом пространстве-времени, $~ \tau$ – собственное время, измеряемое часами, движущимися с телом, $~ u^\mu$ – 4-скорость тела или элемента объёма вещества, $~ \nabla_\mu$ – ковариантная производная.

В плоском пространстве-времени Минковского оператор производной по собственному времени упрощается, так как ковариантная производная переходит в 4-градиент (оператор дифференцирования с частными производными по координатам): $$~\frac{ d } {d \tau }= u^\mu \partial_\mu .$$

Для доказательства данного выражения его можно применить к произвольному 4-вектору $~ A^\nu$: $$~ u^\mu \partial_\mu A^\nu = \frac {c{} dt}{d\tau } \frac {\partial A^\nu }{c{}\partial t } + \frac {dx}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial x } + \frac {dy}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial y } + \frac {dz}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial z } =$$ $$~=\frac {dt}{d\tau } \left( \frac {\partial A^\nu }{\partial t } + \frac {dx}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial x }+ \frac {dy}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial y }+ \frac {dz}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial z }\right) =\frac {dt}{d\tau }\frac {dA^\nu }{dt }=\frac{ dA^\nu } {d \tau } .$$

Выше была использована производная Лагранжа в виде операторного равенства для произвольной функции $~ F$: $$~ \frac {dF}{dt}= \frac {\partial F }{\partial t }+\mathbf{V}\cdot \nabla F,$$

где $~ \mathbf{V}$ есть скорость движения элемента объёма вещества, $~ \nabla$ – оператор набла.

В свою очередь, производная Лагранжа вытекает из представления дифференциала функции $~ F$ от координат и времени: $$~ dF(t,x,y,z) = \frac {\partial F}{\partial t}dt + \frac {\partial F}{\partial x}dx + \frac {\partial F}{\partial y}dy + \frac {\partial F}{\partial z}dz .$$

Применение

Оператор производной по собственному времени применяется к различным четырёхмерным величинам – к скалярным функциям, 4-векторам и 4-тензорам. Одним из исключений является 4-радиус, в четырёхмерных декартовых координатах имеющий вид $~ x^\mu=(ct,x,y,z)=(ct, \mathbf{r} )$, поскольку 4-вектором в искривлённом пространстве-времени является не 4-радиус, а его дифференциал (4-вектор сдвига) $~ dx^\mu=(c{}dt,dx,dy,dz)=(cdt, d\mathbf{r} )$. Действие левой части оператора на 4-радиус определяет 4-скорость: $~ \frac{ D x^\mu } {D \tau }= u^\mu$, но правая часть оператора 4-скорость не даёт: $~ u^\nu \nabla_\nu x^\mu \not = u^\mu$.

В ковариантной теории гравитации оператор производной по собственному времени используется для определения плотности 4-силы, действующей на твёрдую точечную частицу в искривлённом пространстве-времени: $$~f^\nu = \frac{ DJ^\nu } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu J^\nu =\frac{ dJ^\nu } {d \tau }+ \Gamma^\nu _{\mu \lambda} u^\mu J^\lambda,$$

где $~ J^\nu = \rho_0 u^\nu$ есть 4-вектор плотности импульса вещества, $~ \rho_0$ – плотность вещества в системе его покоя, $~ \Gamma^\nu _{\mu \lambda}$ – символ Кристоффеля.

Однако в общем случае 4-сила определяется с помощью 4-потенциала поля ускорений: $$~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} - J^k \partial_\alpha U_k ,$$

где $~ {B_\alpha}^\beta$ – тензор энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами, $~ u_{\alpha k}$ – тензор ускорений, 4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный $~ \vartheta$ и векторный $~ \mathbf {U}$ потенциалы: $$~U_\alpha = \left(\frac {\vartheta }{c},- \mathbf {U} \right) .$$

В общей теории относительности свободно падающее в гравитационном поле тело движется по геодезической линии, причём 4-ускорение тела в этом случае считается равным нулю: $$~a^\nu = \frac{Du^\nu } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu u^\nu =\frac{ du^\nu } {d \tau }+ \Gamma^\nu_{\mu \lambda} u^\mu u^\lambda=0.$$

Так как интервал $~ds = c d\tau$, то уравнение движения тела по геодезической в общей теории относительности можно переписать в эквивалентной форме: $$~ \frac{ d } {d s }\left(\frac{ dx^\nu } {d s } \right) + \Gamma^\nu_{\mu \lambda } \frac{ dx^\mu } {d s } \frac{ dx^\lambda } {d s } = 0.$$

Если вместо собственного времени использовать некоторый параметр $~p$, а уравнение кривой задать выражением $~x^\mu (p)$, то может быть определён оператор производной по параметру вдоль кривой: $$~\frac{ D } {D p }= \frac {d x^\mu }{dp} \nabla_\mu .$$

См. также

• 4-градиент
• Инвариантная производная по времени
• 4-сила

Внешние ссылки

• Operator of proper-time-derivative