Текст:Александр Машин:Conservatoire

Conservatoire

Автор:

Александр Машин

В консерваторию по классу скрипки на 10 мест 100 претендентов:
10 евреев и 90 русских. Собрался ректорат, решают, кого взять, чтобы
по справедливости.
Проректор-патриот: «Надо взять 10 русских».
Проректор-коммунист: «Надо взять 9 русских и одного еврея».
Проректор-демократ: «Надо взять 5 евреев и 5 русских».
Проректор-сионист: «Надо взять 9 евреев и одного русского».
Ректор: «А вы все, оказывается, националисты».
Все: «Ни фига себе! А кого же, по-твоему, надо брать?»
Ректор: «Тех, кто лучше играет на скрипке».

Анекдот № 143830

Дата публикации:

27 мая 2023

Предмет:

Социометрия

О тексте:

К foxhound-lj «О Засилье™» // LiveJournal.com : Запись в сетевом дневнике. — 27 мая 2023..

Рассмотрим динамику стабильного сообщества, состоящего из тех же групп, что и вмещающее его сообщество, и восполняющего себя по мере естественной убыли в соответствии со своими предпочтениями, которые могут склоняться к выбору объективно лучшего кандидата, или принадлежащего к той или иной группе.

Случай двух групп

Обозначения

Пусть:

• $C$ — общая неизменная численность некоего сообщества, состоящего из двух групп, как и вмещающее его сообщество: $C = C_1 + C_2 = \const$, естественная убыль в котором компенсируется набором из вмещающего сообщества, причём выбор из той или иной группы определяется имеющимся соотношением численности групп в сообществе и их предпочтениями,
• $k\left(t\right) = \frac{C_1\left(t\right)}{C\left(t\right)}$ — доля первой группы в нём в момент времени $t$, при этом, $k\left(0\right) = k_0$,
• $0 < \theta\ < 1$ — скорость естественного выбытия членов сообщества,
• $0 \leq \alpha_1\ \leq 1$ и $0 \leq \alpha_2\ \leq 1$ — вероятности того, что средний член соответствующей группы предпочтёт своего при заполнении вакансии, руководствуясь только принадлежностью к группе,
• $0 \leq \beta_1\ \leq 1$ и $0 \leq \beta_2\ \leq 1$ — вероятности того, что средний член соответствующей группы предпочтёт при заполнении вакансии достойнейшего, независимо от принадлежности к группе,
• $0 \leq \nu\ \leq 1$ — вероятность того, что кандидат из первой группы достойнее кандидата из второй группы,
• соответственно, $0 \leq 1 - \alpha_1 - \beta_1 \leq 1$ и $0 \leq 1 - \alpha_2 - \beta_2 \leq 1$ — вероятности того, что член группы предпочтёт чужого кандидата, несмотря ни на что.

Постановка

Получим закон изменения $k\left(t\right) = \frac{C_1\left(t\right)}{C\left(t\right)}$, учитывая, что предпочтение кандидату из первой группы отдадут:

• члены первой группы, численностью $C_1\left(t\right) = k\left(t\right)C$:
  • всегда предпочитающие своих (вероятность $\alpha_1$) или,
  • предпочитающие достойнейших, при условии, что кандидат из первой группы достойнейший (вероятность $\beta_1 \nu$),
• и члены второй группы, численностью $C_2\left(t\right) = \left(1 - k\left(t\right)\right)C$:
  • предпочитающие достойнейших, при условии, что кандидат из первой группы достойнейший (вероятность $\beta_2 \nu$),
  • всегда предпочитающие чужих (вероятность $1 - \alpha_2 - \beta_2$).

Дополнительные обозначения

Дополнительно введём:

• $\dd C_1 = \dd C^{-}_1 + \dd C^{+}_1$ — изменение численности первой группы за время $\dd t$, состоящее из её естественной убыли и прироста в результате кооптации; учитывая, что $C = \const$, $\dd C = \dd C_1 + \dd C_2 = 0$,
• $\gamma_1 = 1 - \alpha_1 - \beta_1 \nu$ — вероятность, что член первой группы предпочтёт, по той или иной причине, кандидата из второй группы,
• $\gamma_2 = 1 - \alpha_2 - \beta_2 \left( 1 - \nu \right)$ — вероятность, что член второй группы предпочтёт, по той или иной причине, кандидата из первой группы.

Дифференциальное уравнение

Получим дифференцильное уравнение: $$\begin{equation*}\dd C_1 = \dd C^{-}_1 + \dd C^{+}_1 =\underbrace{ -\theta C_1\left(t\right) \dd t }_{ \substack{ \scriptsize{ Выбытие } } } +\underbrace{ \theta C\left(t\right) \left(\underbrace{ k\left(t\right) \left( 1 - \gamma_1 \right) }_{ \substack{ \scriptsize{ за\,счёт\,голосов\,своих } } } +\underbrace{ \left( 1 - k\left(t\right) \right) \gamma_2 }_{ \substack{ \scriptsize{ за\,счёт\,голосов\,чужих } } }\right) \dd t }_{ \substack{ \scriptsize{ Пополнение } } }.\end{equation*}$$

Отсюда, разделив на $C\left(t\right)$, получим: $$\begin{equation}\label{Gammas differential}\eqalign{\dd k &= -\theta k\left(t\right) \dd t + \theta \left( k\left(t\right) \left( 1 - \gamma_1 \right) + \left( 1 - k\left(t\right) \right) \gamma_2 \right) \dd t \\&= \theta \left( \gamma_2 - \left( \gamma_1 + \gamma_2 \right) k\left(t\right) \right) \dd t .}\end{equation}$$

Уравнение динамики

Если $\gamma_1 + \gamma_2 = 0$, для чего необходимо, чтобы $\gamma_1 = \gamma_2 = 0$, т.е., члены обеих групп всегда предпочитают своих, то $\dd k = 0$, соответственно, $k = \const$, т.е., распределение групп не меняется.

Иначе, решение уравнения $\eqref{Gammas differential}$ с начальным условием $k\left(0\right) = k_0$ даёт: $$\begin{equation}\label{Dynamics}\eqalign{k\left(t\right) &= \frac{\gamma_2}{ \gamma_1 + \gamma_2 } + \left( k_0 - \frac{\gamma_2}{ \gamma_1 + \gamma_2 } \right) e ^ { -\theta \left( \gamma_1 + \gamma_2 \right) t } \\&= k_0 e ^ { -\theta \left( \gamma_1 + \gamma_2 \right) t } + \frac{\gamma_2}{ \gamma_1 + \gamma_2 } \left( 1 - e ^ { -\theta \left( \gamma_1 + \gamma_2 \right) t } \right) \\&= \dfrac{ 1 - \alpha_2 - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) + \left( k_0 \left( 2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \beta_1 \nu - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) \right) - \left( 1 - \alpha_2 - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) \right) \right) e ^ { -\theta \left( 2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \beta_1 \nu - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) \right) t }}{ 2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \beta_1 \nu - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) } .} \end{equation}$$

Предел

Если $\gamma_1 + \gamma_2 > 0$, то, со временем, доля первой группы стремится к: $$\begin{equation*} \eqalign{k^* &= \lim\limits_{t \rightarrow \infty} k\left(t\right) \\&= \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \left( \left( k_0 - \frac{\gamma_2}{ \gamma_1 + \gamma_2 } \right) e ^ { -\theta \left( \gamma_1 + \gamma_2 \right) t } + \frac{\gamma_2}{ \gamma_1 + \gamma_2 } \right) \\&= \frac{\gamma_2}{ \gamma_1 + \gamma_2 } \\&= \frac{1 - \alpha_2 - \beta_2 \left( 1 - \nu \right)}{ 2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \beta_1 \nu - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) } . }\end{equation*}$$

С учётом значения предела $k^*$, формула динамики $\eqref{Dynamics}$ принимает вид: $$\begin{equation}k\left(t\right) = k^* + e ^ { -\theta \left( \gamma_1 + \gamma_2 \right) t } \left( k_0 - k^* \right) .\end{equation}$$

Примеры динамики на графике

Случай нескольких групп

Обозначения

Пусть:

• $C$ — общая неизменная численность сообщества, состоящего из $n$ групп: $C \left( t \right) = \sum\limits_{i=1}^{n}C_i \left( t \right) = \const$,
• $k_i\left(t\right) = \frac{C_i\left(t\right)}{C\left(t\right)}$ — доля $i$-ой группы в нём в момент времени $t$; $\sum\limits_{i=1}^n k_i = 1$ (это коинтеграционное уравнение с коинтеграционным вектором $\left( 1, 1, \dots, 1_n \right)^{\top}$); при этом, $k_i\left(0\right) = k_i^0$; соответственно, вводятся векторы-столбцы $\mathbf{k}\left(t\right) = \left( k_1\left(t\right), k_2\left(t\right), \dots , k_i\left(t\right), \dots , k_n\left(t\right) \right)^{\top}$ и $\mathbf{k^0} = \left( k^0_1, k^0_2, \dots , k^0_i, \dots , k^0_n \right)^{\top}$,
• $\theta$ — скорость естественного выбытия членов сообщества,
• $\alpha_i$ — вероятность того, что средний член $i$-ой группы руководствуется только принадлежностью к группе при заполнении вакансии,
• $\alpha_{ij}$ — вероятность того, что средний член $i$-ой группы предпочтёт члена $j$-ой группы при заполнении вакансии, руководствуясь только принадлежностью к группе; $\sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij} = \alpha_i$,
• $\beta_i$ — вероятность того, что средний член $i$-ой группы предпочтёт при заполнении вакансии достойнейшего, независимо от принадлежности к группе. Отсюда:
  • $\alpha_i + \beta_i = \sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij} + \beta_i = 1$,
• $\nu_i$ — вероятность того, что кандидат из $i$-ой группы достойнее других кандидатов; $\sum\limits_{i=1}^n \nu_i = 1$.

Постановка задачи

Получим закон изменения $k_i\left(t\right) = \frac{C_i\left(t\right)}{C\left(t\right)}$, учитывая, что предпочтение кандидату из $i$-ой группы отдадут:

• члены всех групп, всегда предпочитающих кандидата из $i$-ой группы, вместе собирающие долю голосов $\frac{ 1 }{ C\left(t\right) } \sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ji} C_j\left(t\right) = \sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ji} k_j\left(t\right)$,
• члены всех групп, предпочитающие лучших, при условии, что кандидат из $i$-ой группы действительно лучший, вместе собирающие долю голосов $\frac{ 1 }{ C\left(t\right) } \sum\limits_{j=1}^n \beta_j \nu_i C_j\left(t\right) = \nu_i \sum\limits_{j=1}^n \beta_j k_j\left(t\right)$.

Дополнительные обозначения

Дополнительно введём:

• $\dd C_i = \dd C^{-}_i + \dd C^{+}_i$ — изменение численности $i$-ой группы за время $\dd t$, состоящее из её естественной убыли и прироста в результате кооптации; учитывая, что $C = \const$, $\dd C = \sum\limits_{i=1}^n \dd C_i = 0$,
• $\Gamma = \left( \gamma_{ij} \right) = \left( \alpha_{ij} + \beta_i \nu_j \right)$ — квадратная матрица вероятностей, что член $i$-ой группы предпочтёт, по той или иной причине, кандидата из $j$-ой группы. Отсюда:
  • $\sum\limits_{j=1}^n \gamma_{ij} = 1$,
  • $1 = \sum\limits_{j=1}^n \gamma_{ij} = \sum\limits_{j=1}^n \left( \alpha_{ij} + \beta_i \nu_j \right) = \sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij} + \sum\limits_{j=1}^n \beta_i \nu_j = \alpha_i + \beta_i \sum\limits_{j=1}^n \nu_j = \alpha_i + \beta_i = 1$,
  • $\Gamma$ — стохастическая справа матрица, $\Gamma^{\top}$ — стохастическая слева,
  • $\Gamma - I$ и $\Gamma^{\top} - I$ — вырожденные матрицы (сумма, соответственно, каждой строки и каждого столбца равна нулю).

Дифференциальное уравнение

Получим дифференциальное уравнение: $$\begin{equation*}\dd C_i = \dd C^{-}_i + \dd C^{+}_i =\underbrace{ -\theta C_i\left(t\right) \dd t }_{ \substack{ \scriptsize{ Выбытие } } } +\underbrace{ \theta C\left(t\right) \left(\sum\limits_{j=1}^{n} \gamma_{ji} k_j\left(t\right)\right) \dd t }_{ \substack{ \scriptsize{ Пополнение } } } .\end{equation*}$$

Разделив на $C\left(t\right)$, получим: $$\begin{equation}\label{Multiple gammas differential}\eqalign{\dd k_i &= -\theta k_i\left(t\right) \dd t +\theta \left( \sum\limits_{j=1}^{n} \gamma_{ji} k_j\left(t\right) \right) \dd t \\&= \theta \left(\underbrace{ -k_i\left(t\right) }_{ \substack{ \scriptsize{ Выбытие } } } +\underbrace{ \sum\limits_{j=1}^{n} \gamma_{ji} k_j\left(t\right) }_{ \substack{ \scriptsize{ Пополнение } } }\right) \dd t .} \end{equation}$$

С использованием векторов и матриц систему уравнений вида $\eqref{Multiple gammas differential}$ можно переписать в виде: $$\begin{equation}\label{Matrix differential}\dd \mathbf{k} = \theta \left(\texttip{ \Gamma^{\top} }{ Пополнение } -\texttip{ I }{ Выбытие }\right) \mathbf{k}\left(t\right) \dd t .\end{equation}$$

Это уравнение сходно с основным кинетическим.

Уравнение динамики

Решением системы уравнений $\eqref{Matrix differential}$ с начальным условием $\mathbf{k}\left(0\right) = \mathbf{k}^0$ является: $$\begin{equation}\label{Multiple solution}\mathbf{k}\left(t\right) = e ^ { \theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t } \mathbf{k^0} .\end{equation}$$

Упрощение

Примем во внимание, что:

• умножение на скалярную матрицу всегда коммутативно, а $- \theta I t$ — скалярная матрица, поэтому возможен переход от экспоненты суммы к произведению экспонент,
• экспонента транспонированной матрицы равна транспонированной экспоненте.

С учётом этого, решение $\eqref{Multiple solution}$ можно переписать как: $$\begin{equation}\mathbf{k}\left(t\right) = e ^ { \theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t } \mathbf{k^0} = e ^ { \left( \theta \Gamma t \right) ^{\top} - \theta I t } \mathbf{k^0} = \left( e ^ { \theta \Gamma t } \right) ^{\top} e ^ { - \theta It } \mathbf{k^0} .\end{equation}$$

Поскольку $- \theta It$ — скалярная матрица, то она и диагональна, и её экспонента $e ^ { - \theta It } = \begin{pmatrix} e^{-\theta t} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & e^{-\theta t} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & e^{-\theta t} \end{pmatrix} = e^{-\theta t} I$.

С учётом этого, а также коммутативности умножения на единичную матрицу, $$\begin{align}\mathbf{k}\left(t\right)& = e^{-\theta t} I \left( e ^ { \theta \Gamma t } \right) ^{\top} \mathbf{k^0}= e^{-\theta t} \left( e ^ { \theta \Gamma t } \right) ^{\top} \mathbf{k^0} = e^{-\theta t} e ^ { \theta \Gamma ^{\top} t } \mathbf{k^0} = \\& = \underbrace{ e^{-\theta t} }_{ \substack{ \tiny{ выбытие } } } \underbrace{ e ^ { \theta \Gamma ^{\top} t } }_{ \substack{ \tiny{ пополнение } } } \underbrace{ \mathbf{k^0} }_{ \substack{ \tiny{ исходное } \\ \tiny{ положение } } } .\end{align}$$

Стохастичность

Матрица $\Gamma^{\top}$ стохастична слева, т.е., $\mathbf{1}_{1 \times n} \Gamma^{\top} = \mathbf{1}_{1 \times n}$. Это же относится и к любой её степени: $\mathbf{1}_{1 \times n} \left( \Gamma^{\top} \right) ^ i = \mathbf{1}_{1 \times n}$. С учётом опредедения матричной и скалярной экспоненты через бесконечный ряд: $$\begin{equation*} \eqalign{\mathbf{1}_{1 \times n} e^{\theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t} &=\mathbf{1}_{1 \times n} e^{-\theta t} e^{\theta \Gamma^{\top} t} \\&= e^{-\theta t} \mathbf{1}_{1 \times n} \left( \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{ \left( \theta \Gamma^{\top} t \right) ^ i }{ i! } \right)&= e^{-\theta t} \left( \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{ \theta^i t^i \mathbf{1}_{1 \times n} \left( \Gamma^{\top} \right) ^ i }{ i! } \right)&= e^{-\theta t} \left( \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{ \theta^i t^i \mathbf{1}_{1 \times n} }{ i! } \right)&= e^{-\theta t} \mathbf{1}_{1 \times n} \left( \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{ \theta^i t^i }{ i! } \right) \\&= e^{-\theta t} \mathbf{1}_{1 \times n} e^{\theta t} = \mathbf{1}_{1 \times n} .} \end{equation*}$$ Таким образом, матрица $e^{\theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t}$ тоже стохастична слева.

Поскольку эта матрица не стохастична справа, уравнение динамики $\eqref{Multiple solution}$ не описывает марковский процесс.

Предел

Если существует $\mathbf{k^*}$, такое, что $e^{\theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t} \cdot \mathbf{k^*} = \mathbf{k^*}$, то есть, собственный вектор матрицы $e^{\theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t}$ с собственным числом 1, для любого $t$, то: $$\begin{equation} \eqalign{\mathbf{k} \left( t \right) &=e^{\theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t} \cdot \mathbf{k^0} + \underbrace{ \mathbf{k^*} - e^{\theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t} \cdot \mathbf{k^*} }_{ = 0 } \\& = \mathbf{k^*} + e^{\theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t} \left( \mathbf{k^0} - \mathbf{k^*} \right) . } \end{equation}$$

Соответственно, $$\begin{equation*} \eqalign{\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \mathbf{k} \left( t \right)&= \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \left( \mathbf{k^*} + e^{\theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t} \left( \mathbf{k^0} - \mathbf{k^*} \right) \right) \\&= \mathbf{k^*} + \lim\limits_{t \rightarrow \infty} e^{ -\theta t } \lim\limits_{t \rightarrow \infty} e^{ \theta\Gamma^{\top} t} \left( \mathbf{k^0} - \mathbf{k^*} \right) .} \end{equation*}$$

Как указано выше, $\mathbf{k^*}$ — собственный вектор матрицы $e ^ { \theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) t }$, из чего следует, что он же должен быть собственным вектором и $\Gamma^{\top}$, поскольку собственные векторы сохраняются при возведении в степень, получении экспоненты и умножении на скаляр. Этот вывод можно получить и иным способом: если достигнуто стационарное состояние, то $d\mathbf{k} = \mathbf{0}$. Отсюда, $\mathbf{0} = d\mathbf{k} = \theta \left( \Gamma^{\top} - I \right) \mathbf{k^*} dt$, следовательно, $\left( \Gamma^{\top} - I \right) \mathbf{k^*} = \mathbf{0}$, и $\Gamma^{\top} \cdot \mathbf{k^*} = \mathbf{k^*}$, то есть, $\mathbf{k^*}$ — собственный вектор $\Gamma^{\top}$ с собственным числом 1.

Ссылки

• morky «О наказании за русскость» // LiveJournal.com : Запись в сетевом дневнике. — 26 февраля 2005.