Условие Вульфа — Брэгга

Определение направления максимумов лучей дифракции упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения

Условие Вульфа — Брэгга определяет направление максимумов лучей дифракции упруго рассеянного на кристалле рентгеновского излучения. Формула выведена в 1913 независимо У. Л. Брэггом и Г. В. Вульфом. Имеет вид: $$n\lambda=2d\cdot\sin\theta$$ где:

d — межплоскостное расстояние,

θ — угол скольжения (брэгговский угол),

n — порядок дифракционного максимума,

λ — длина волны.

Вывод

Пусть плоская монохроматическая волна любого типа падает на решётку с периодом d, под углом θ, как показано на рисунке

Падающий (синий) и отражённые (красные) лучи

Как видно есть разница в путях между лучом, отражённым вдоль AC' и лучом, прошедшим ко второй плоскости атомов по пути AB и только после этого отражённым вдоль BC. Разница в путях запишется как $$(AB+BC) - (AC').$$ Если эта разница равна целому числу волн n то две волны придут в точку наблюдения с одинаковыми фазами, испытав интерференцию. Математически можно записать: $$(AB+BC) - (AC') = n\lambda \,$$ где λ — длина волны излучения. Используя теорему Пифагора можно показать, что $$AB=\frac{d}{\sin\theta}\,,$$ $BC=\frac{d}{\sin\theta},$, $AC=\frac{2d}{\tan\theta}\,$ как и следующие соотношения: $$AC'=AC\cdot\cos\theta=\frac{2d}{\tan\theta}\cos\theta\,$$ Собрав всё вместе получим известное выражение: $$n\lambda=\frac{2d}{\sin\theta}-\frac{2d}{\tan\theta}\cos\theta=\frac{2d}{\sin\theta}(1-\cos^2\theta)=\frac{2d}{\sin\theta}\sin^2\theta$$ После упрощения получим закон Брэгга $$\begin{equation}\label {Bragg}\lambda = 2d \cdot \sin \theta .\end{equation}$$

Применение

Условие Вульфа-Брэгга даёт возможность определить межплоскостные расстояния d в кристалле, т.к. λ обычно известна, а углы θ измеряются экспериментально. Вывод $\eqref {Bragg}$ получен без учёта эффекта преломления для безграничного кристалла, имеющего идеально-периодическое строение. В действительности дифрагированное излучение распространяется в конечном угловом интервале θ±Δθ, при этом ширина этого интервала определяется в кинематическом приближении числом, отражающих атомных плоскостей (то есть пропорциональна линейным размерам кристалла), аналогично числу штрихов дифракционной решётки. При динамической дифракции величина Δθ зависит также от величины взаимодействия рентгеновского излучения с атомами кристалла. Искажения решётки кристалла в зависимости от их характера ведут к изменению угла θ, или возрастанию Δθ, или одновременно к тому и другому. Условие Вульфа-Брэгга является отправным пунктом исследований в рентгеновском структурном анализе, рентгенографии материалов, рентгеновской топографии. Условие Вульфа-Брэгга остаётся справедливым при дифракции γ-излучения, электронов и нейтронов в кристаллах, при дифракции в слоистых и периодических структурах излучения радио- и оптического диапазонов, а также звука. В нелинейной оптике и квантовой электронике при описании параметрических и неупругих процессов применяются различные условия пространственного синхронизма волн, близкие по смыслу условию Вульфа-Брэгга.,.

См. также

• Дифракция
• Дифракция Брэгга
• Рентгеновская оптика преломления