Функция (математика)

Отображе́ние или фу́нкция (лат. functio — исполнение, осуществление) — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

Функция как отображениеПравить

Наиболее распространенная трактовка понятия функции состоит в его отождествлении с понятием отображения:

Определение. Пусть X X и Y Y — два множества. Закон F F , согласно которому каждому элементу x X x \in X поставлен в соответствие единственный элемент y Y y \in Y , называется отображением множества X X в множество Y Y или функцией, заданной на X X со значениями в Y Y .

Отображения обозначают так:

  • F :   X Y F:\ X \to Y или X F Y X\to^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} Y для отображения F F , множества X X в множество Y Y .
  • y = F ( x ) y=F(x) или F : x y F:x \mapsto y или x F y x \mapsto^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} y .

При этом:

  • Множество X X тогда называется о́бластью определе́ния отображения F F (обозначается D(f) или D(y).).
  • Множество Y Y о́бластью значе́ний отображения F F .
  • Элемент x x называют аргуме́нтом или незави́симой переме́нной,
  • Элемент y = F ( x ) y=F(x) значе́нием или зави́симой переме́нной.

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств X X и Y Y . Если X X и Y Y — числовые множества, такие, как R \mathbb{R} или C \mathbb{C} , то отображение называют функцией. Если X X или Y Y многомерны, например, R n \mathbb{R}^n или C n \mathbb{C}^n , то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X X — произвольной природы, а Y Y — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Формальное определениеПравить

То, что приведено выше, не может считаться формальным математическим определением, по сути в нём понятие «функция» подменено словом «закон». Некоторые авторы считают функцию основным понятием, то есть в определении не нуждающимся, но чаще всего формальные определения функции строится на основе теории множеств:

Пусть даны два множества X X\! и Y Y\! . Отображение F F\! множества X X\! в множество Y Y\! есть подмножество F X × Y F\subset X \times Y , такое, что для любого x X x\in X существует единственный элемент y Y y\in Y , такой, что ( x , y ) F (x,y)\in F . Здесь X × Y X \times Y обозначает прямое произведение множеств X X и Y Y .

Дополнение к формальному определениюПравить

Подобное определение, однако, исключает определение неоднозначных функций, применяемых в математике (особенно в исчислении функций комплексного переменного).

Пусть даны множества X X и Y Y , тогда упорядоченное множество всех пар f = { ( x , y ) } f=\left\{(x,y)\right\} называется функцией одного аргумента тогда и только тогда, когда для любых ( x , y ) f (x',y')\in f и ( x , y ) f (x'',y'')\in f из y y y'\neq y'' следует, что x x x' \neq x'' .

Фактически это означает, что изменение значения функции может произойти только вследствие изменения её аргумента.

Это же определение легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества X 1 , X 2 , , X n X_{1},X_{2},\ldots,X_n и множество Y Y , тогда упорядоченное множество всех кортежей f = { ( x 1 , x 2 , , x n , y ) } f=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},y)\right\} называется функцией n n аргументов тогда и только тогда, когда для любых ( x 1 , x 2 , , x n , y ) f (x_{1}',x_{2}',\ldots,x_{n}',y')\in f и ( x 1 , x 2 , , x n , y ) f (x_{1}'',x_{2}'',\ldots,x_{n}'',y'')\in f из y y y'\neq y'' следует, что x n x n , x [ 1 , n ] Z x_{n}' \neq x_{n}',\forall x\in [1,n]\cap\mathbb{Z} [1].

Смежные понятияПравить

СужениеПравить

Пусть дано отображение F : X Y F:X \to Y , и M X M \subset X . Тогда суже́нием функции F F на M M называется функция F | M \left.F\right\vert_{M} , определяемая равенством F | M ( x ) = F ( x ) , x M . \left.F\right\vert_{M}(x) = F(x),\; \forall x\in M.

Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

Образ множестваПравить

Пусть M X M \subset X . Тогда о́бразом множества M M называется подмножество Y Y , определяемое равенством F ( M ) = { F ( x ) x M } . F(M) = \{ F(x) \mid x \in M \}.

Множество F ( X ) F(X) называется образом отображения F F .

ПрообразПравить

Пусть задано отображение F : X Y F:X \to Y , x X , y Y x\in X, \;y\in Y и y = F ( x ) y=F(x) . Тогда x x называется проо́бразом y y , а y y называется о́бразом x x . Согласно определению отображения, каждый элемент x X x\in X должен иметь ровно один образ, но элемент y Y y\in Y может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.

Пример. Пусть дана функция F : R R F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} , где F ( x ) = x 2 F(x) = x^2 . Тогда

  • y = 1 y = -1 не имеет прообразов;
  • y = 0 y = 0 имеет единственный прообраз x = 0 x = 0 ;
  • y = 1 y = 1 имеет два прообраза: x 1 = 1 x_1 = 1 и x 2 = 1 x_2 = -1 .

Полный прообраз элементаПравить

Пусть задано отображение F : X Y F:X \to Y , и y Y y \in Y . Тогда множество { x X F ( x ) = y } X \{x\in X \mid F(x) = y\} \subset X называется по́лным проо́бразом элемента y y . Полный прообраз обозначается F 1 ( y ) F^{-1}(y) .

Пример. Пусть F : R R F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} , и F ( x ) = sin  Синус  x F(x) = \sin x . Тогда F 1 ( 1 ) = { π 2 + 2 π k k Z } . F^{-1}(1) = \left\{{\pi \over 2}+2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}.

Полный прообраз множестваПравить

Пусть N Y N \subset Y . Тогда проо́бразом множества N N называется подмножество X X , определяемое равенством F 1 ( N ) = { x X F ( x ) N } . F^{-1}(N) = \{ x \in X \mid F(x) \in N \}.

Пример. Пусть F : R R F: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , и F ( x ) = cos  Косинус  x F(x) = \cos x . Тогда

  • F ( [ 0 , π 2 ] ) = [ 0 , 1 ] F\left(\left[0, {\pi \over 2}\right]\right) = [0, 1] ,
  • F 1 ( [ 0 , 1 ] ) = n Z [ π 2 + 2 π n , π 2 + 2 π n ] F^{-1}([0,1]) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+ 2\pi n\right] .

Свойства прообразов и образовПравить

  • F 1 ( A B ) = F 1 ( A ) F 1 ( B ) , A , B Y F^{-1}(A \cup B) = F^{-1}(A) \cup F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y ;
  • F 1 ( A B ) = F 1 ( A ) F 1 ( B ) , A , B Y F^{-1}(A \cap B) = F^{-1}(A) \cap F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y ;
  • F ( A B ) = F ( A ) F ( B ) , A , B X F(A \cup B) = F(A) \cup F(B),\; \forall A,B \subset X ;
  • F ( A B ) F ( A ) F ( B ) , A , B X F(A \cap B) \subset F(A) \cap F(B), \; \forall A,B \subset X . Заметим отсутствие равенства в этом случае.

ГрафикПравить

 
Фрагмент графика функции f ( x ) = x 3 9 x f(x) = x^3 - 9x

Пусть дано отображение F : X Y F: X \to Y . Тогда его гра́фиком Γ \Gamma называется множество Γ = { ( x , F ( x ) ) x X } X × Y , \Gamma = \{ (x,F(x)) \mid x \in X \} \subset X \times Y, где X × Y X \times Y обозначает декартово произведение множеств X X и Y Y .

  • График непрерывной функции F : R R F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} является кривой на двумерной плоскости.
  • Графиком непрерывной функции F : R 2 R F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} является поверхность в трёхмерном пространстве.

Исторический очеркПравить

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Л. Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Д. Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Л.Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Д. Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 К. Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Л.Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении..

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (17971802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f x fx обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x x , содержащимся между 0 0 и какой-либо величиной x x ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x x называть число, которое даётся для каждого x x и вместе с x x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

ПримечанияПравить

  1. Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1. М.: Высшая школа,1981. с. 8.

См. такжеПравить

Различные классы функций:

ЛитератураПравить

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
  • Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
  • Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
  • История математики, т.2-3, М., 1970-72.
  • Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.

eo:Funkcio (matematiko) hu:Függvény ka:ფუნქცია (მათემატიკა) lt:Funkcija (matematika)