Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая системв координат.
Точка в цилиндрических координатах.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z z ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка P P даётся как ( ρ , φ , z ) (\rho,\;\varphi,\;z) . В терминах прямоугольной системы координат:

  • ρ 0 \rho\geqslant 0 — расстояние от O O до P P' , ортогональной проекции точки P P на плоскость X Y XY . Или то же самое, что расстояние от P P до оси Z Z .
  • 0 φ   < 360 0\leqslant\varphi\ < 360^\circ — угол между осью X X и отрезком O P OP' .
  • z z равна аппликате точки P P .

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения ( ρ , φ , z ) (\rho,\;\varphi,\;z) .

Некоторые математики используют ( r , θ , z ) (r,\;\theta,\;z) .

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z Z взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение x 2 + y 2 = c 2 x^2+y^2=c^2 , а в цилиндрических — очень простое уравнение ρ = c \rho=c . Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».[1]

Переход к другим системам координатПравить

 
2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координатПравить

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым: { x = ρ cos  Косинус  φ , y = ρ sin  Синус  φ , z = z . \begin{cases} x=\rho\cos\varphi, \\ y=\rho\sin\varphi, \\ z=z. \end{cases} Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим: { ρ = x 2 + y 2 , φ = arctg ( y x ) , z = z . \begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right), \\ z=z. \end{cases} Якобиан равен: J = ρ . J=\rho.

Дифференциальные характеристикиПравить

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид: g i j = ( 1 0 0 0 ρ 2 0 0 0 1 ) , g i j = ( 1 0 0 0 1 / ρ 2 0 0 0 1 ) . g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/\rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

  • Квадрат дифференциала длины кривой

d s 2 = d ρ 2 + ρ 2 d φ 2 + d z 2 . ds^2=d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2.

H ρ = 1 , H φ = ρ , H z = 1. H_\rho=1,\quad H_\varphi=\rho,\quad H_z=1.

Γ 22 1 = r , Γ 21 2 = Γ 12 2 = 1 r . \Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{r}. Остальные равны нулю.

См. такжеПравить

ПримечаниеПравить