Эквивалентность массы и энергии

Эквивалентность массы и энергии есть свойство пропорциональности релятивистской энергии тела массе этого тела, а также свойство пропорциональности объёмной плотности энергии плотности массы вещества и поля. В более широком смысле под эквивалентностью массы и энергии подразумевается пропорциональность между массой и функцией Гамильтона физической системы.

История вопроса

В 1873 году Н. А. Умов указал на соотношение массы и энергии Е=kMC² (где: 0,5 =< k =< 1).

В 1881 г. Дж. Дж. Томсон дал соотношение: k = 4/3.

В 1890 г. О. Хевисайд дал соотношение: k = 1 и, таким образом, придал уравнению современный смысл. [1]

В 1900 году в статье Анри Пуанкаре формула типа E=mc², связывающая энергию и массу, появилась при нахождении эквивалентной массы m излучения.

Альберт Эйнштейн также вывел формулу E=mc² в своём исследовании от 1905 года при рассмотрении поведения объекта, движущегося с околосветовой скоростью. Отсюда он сделал вывод о том, что масса тела является мерой его энергии покоя:

Энергия покоя = Масса × (скорость света)².

Согласно данному равенству, максимальная энергия, которую можно получить от объекта, равна массе объекта, умноженной на квадрат скорости света.

Биограф Эйнштейна А.Пайс пишет, что соотношение между массой и энергией, выражаемое формулой Е = mc², действительно было известно для частных случаев ещё за 25 лет до Эйнштейна. Но утверждает, что тот впервые обобщил его на все явления природы. Согласно Умберто Барточи (историку математики из университета Перуджи), уравнение, связывающее массу и энергию, было также опубликовано за два года до Эйнштейна Олинто де Прето, промышленником из Виченцы в Италии.

Видно, что Эйнштейн не был единственным, кто соотносил энергию и массу, но он был одним из первых, кто вывел формулу из общих предпосылок теории.

Эквивалентность массы и энергии в теории относительности

В специальной теории относительности (СТО), имеют место формулы, связывающие релятивистскую энергию тела $~E$, его скорость $\vec v$, импульс $\vec p$ и массу $~m$: $$E^2-p^2c^2=m^2c^4. \qquad\qquad (1)$$ $$\vec p = \frac{E \vec v}{c^2}. \qquad\qquad \qquad \qquad (2)$$

Если положить в формуле $(2)$ скорость $\vec v=0$, то импульс будет равен нулю: $\vec p=0$. Тогда для покоящегося тела из первого выражения получается: $$E_0=mc^2. \qquad\qquad\qquad (3)$$

Это и есть знаменитая формула связи массы и энергии покоя, причём энергия покоя $E_0$ является инвариантной энергией, как величина, которая может быть найдена в любой системе отсчёта.

В СТО энергия и импульс частицы объединяются в 4-вектор энергии-импульса. Данный вектор имеет вид: $$p^i=(E/c, \vec p). \qquad\qquad\qquad (4)$$

В общем виде энергия частицы определяется так: $$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1- v^2/c^2} }. \qquad\qquad\qquad (5)$$

Длина 4-вектора $~p^i$ в $(4)$ является константой в любой инерциальной системе отсчёта, что в сочетании с $(5)$ приводит к соотношениям $(1)$ и $(2)$. Таким образом, релятивистская энергия в СТО включает в себя не только кинетическую энергию тела, но и энергию его покоя. Так получается потому, что энергия тела рассматривается только в инерциальных системах отсчёта, для которых и справедлива СТО. В этом случае потенциальная энергия учитывается косвенно, так как приводит к ускорениям и изменению скорости тела. При расчёте энергии в СТО берётся импульс $\vec p,$ выражаемый через массу-энергию и скорость, а ускорения в расчёт не входят, так как делают системы отсчёта неинерциальными. Отсюда вытекает неточность формул СТО, описывающих действительность лишь в инерциальном приближении.

Кроме кинетической энергии тела в рассматриваемой системе отсчёта, в энергию $~E$ входит также энергия покоя тела $~E_0$ в той системе отсчёта, в которой тело покоится. Если покоящееся тело с учётом собственной потенциальной энергии обладает положительной полной энергией, оно становится неустойчивым и может разлететься на части при нарушении баланса сил, удерживающих вещество. Суммирование импульсов и энергий всех этих частей даст нулевой полный импульс и величину полной энергии в системе покоя. Отсюда видно, почему в произвольной инерциальной системе отсчёта вклад в релятивистскую энергию $~E$ должна вносить и энергия покоя — она является причиной того, что при взаимодействии системы тел может происходить не только перераспределение начальной кинетической энергии этих тел, но и изменение состояния вещества и энергии покоя самих тел, приводящее к изменению общей кинетической энергии системы за счёт внутренней энергии и потенциальной энергии поля. Согласно принципу суммирования энергий, как полная, так и релятивистская энергии системы всегда состоят из нескольких компонент, соответствующих веществу и полю.

Выводы из теории относительности

Формула $(3)$ предполагает, что если точечное тело имеет массу, оно обладает и определённым количеством энергии — «энергией покоя», независимо от потенциальной энергии в каком-либо внешнем поле. Для примера, тело массой 1 кг обладает энергией покоя приблизительно $9 \cdot 10^{16}$ джоулей. Почему же такая большая энергия никак не проявила себя в классической ньютоновской механике? Дело в том, что энергия в физике определяется с точностью до константы. Наибольшее значение имеют разности энергий, которые можно приравнять изменению энергии в каком-либо процессе, совершённой работе, переданной теплоте и т. д. Многие силы в физике вычисляются как градиенты от энергии, и в этом случае энергия покоя как постоянная величина снова сокращается и выпадает из формул. Лишь в тех процессах, в которых энергия покоя частиц изменяется, она проявляется и становится заметной.

Расчёты ядерных реакций в ядерной физике и реакций между элементарными частицами основаны на законе сохранения 4-вектора энергии-импульса системы $~P^i$, в котором связь между массой и энергией представлена во временной компоненте 4-вектора. Этот закон можно представить так: $$P^i = \sum^{n}_{k=1} p^i_{k} = (\sum^{n}_{k=1}E_k /c, \sum^{n}_{k=1}\vec p_k) = \sum^{m}_{s=1} p^i_{s} = (\sum^{m}_{s=1}E_s /c, \sum^{m}_{s=1}\vec p_s), \qquad\qquad\qquad (6)$$

где символ i = 0,1,2,3 обозначает различные компоненты 4-векторов, символы k и s обозначают частицы системы, в начальном состоянии было n частиц, а в конечном состоянии стало m частиц, при этом m не обязательно равно n.

Соотношение между массой и энергией является краеугольным камнем ядерной энергетики и сыграло свою роль в создании атомной бомбы. Измеряя массу какого-либо ядра и вычитая из этого числа полную массу протонов и нейтронов, которую они имели бы по отдельности, можно получить оценку энергии связи в данном атомном ядре. Энергия связи выделяется при слиянии лёгких ядер. При делении тяжёлых ядер также возможно выделение энергии, поскольку удельные энергии связи в образовавшихся осколках могут быть больше, чем в исходном ядре.

Эквивалентность массы и энергии в других теориях

В  теории бесконечной вложенности материи нуклонный уровень материи, для которого справедливо соотношение $(3)$, является одним из множества возможных уровней. В общем случае соотношение между энергией и массой тела согласно С. Г. Федосину записывается в следующем виде: $$E_0=mC^2_{x}, \qquad\qquad\qquad (7)$$

где $~C_{x}$ есть характерная скорость частиц, составляющих тело.

Под энергией $~E_0$ в данной формуле подразумевается энергия связи или абсолютная величина полной энергии. При этом в силу теоремы вириала полная энергия тела складывается обычно из потенциальной гравитационной энергии и внутренней энергии кинетического движения частиц. Когда полная энергия системы отрицательна, система устойчива, но если полная энергия положительна или равна нулю, то система может распасться без всякого внешнего воздействия за счёт внутренних источников энергии. С течением времени внутренняя энергия тела может измениться, например за счёт охлаждения, в свою очередь гравитационная энергия также может измениться за счёт изменения размеров тела. Всё это приводит к изменению полной энергии. Формула Эйнштейна получается из $(7)$ при условии, что $~C_{x}=c$. Это возможно лишь для вещества, из которого образуются нуклоны и элементарные частицы. В этом случае энергия $~E_0$ определяется как абсолютная величина полной энергии вещества в поле сильной гравитации. Для больших кусков вещества и твёрдых тел, состоящих уже из атомов и молекул (или ионов и электронов, как в плазме) необходимо добавляются другие виды энергии и полная энергия системы становится другой (нужно учитывать энергии типа энергии плавления, испарения, ионизации и т. д.).

Для уровня звёзд характерные скорости частиц вещества $~C_{x}$ отличаются по своей величине, существенно завися от типа звёзд. У звёзд главной последовательности была обнаружена дискретность параметров звёзд и корреляция их масс с массами атомных ядер, так что каждому химическому элементу была поставлена в соответствие звезда того или иного спектрального класса. В результате для полной энергии вещества звёзд главной последовательности получается: $$E_s=M_{s} C^2_{s} (A/Z)^2, \qquad\qquad\qquad (8)$$

где $~C_{s}=220$ км/c, A и Z есть массовое и зарядовое число атома, соответствующего звезде с массой $~M_{s}$. В частности, у Солнца предполагается A = 18, Z = 8, подобно ядру атома кислорода.

Для белых карликов характерная скорость частиц вещества $~C_{x}$ находится в диапазоне от 930 до 4000 км/c, а у нейтронных звёзд — от 17000 до 71000 км/c. У планет скорость $~C_{x}$ не превышает 52 км/c (для Земли она равна 4,3 км/c).

С помощью соотношения типа $(8)$ достаточно точно определяются и полные энергии галактик, по абсолютной величине равные в первом приближении кинетической энергии движения звёзд. Для нашей Галактики Млечный Путь эта энергия составляет величину порядка $~E_g = 2,5 \cdot 10^{52}$ Дж. При подстановке массы Галактики $~M_{g}=1,6 \cdot 10^{11} M_c ,$ где $~ M_c$ — масса Солнца, и значений A = 18‒20, Z = 8‒10, в соотношение $(8)$ получается значение, близкое к $~E_g .$

Из изложенного следует, что принцип эквивалентности массы и энергии на самом деле следует называть принципом пропорциональности массы и полной энергии.

Закон сохранения количества вещества

Масса, релятивистская энергия и импульс являются физическими характеристиками вещества. В ряде процессов с элементарными частицами, например при аннигиляции и фоторождении частиц, кажется, что масса превращается в энергию и наоборот. Это прямо следует из закона сохранения 4-вектора энергии-импульса системы (6) специальной теории относительности. Однако этот закон рассматривает лишь входные и выходные величины энергии и импульса частиц системы в инерциальных системах отсчёта и не учитывает процессы с частицами, происходящими при их взаимодействии. С другой стороны, если масса отражает количество вещества в определённом состоянии, которое не меняется в ходе процесса, то вещество не может превратиться в энергию и наоборот. Существует возможность совместить одновременно и закон сохранения количества вещества, и законы сохранения энергии и импульса, содержащиеся в законе сохранения 4-вектора энергии-импульса системы. Для этого необходимо составлять полные балансы энергий и импульсов частиц системы с учётом изменения энергии сильной гравитации в ходе реакций с элементарными частицами: $$\sum^{n}_{k=1} E_{k}+\sum^{n}_{k=1} T_{k} = \sum^{m}_{s=1} E_{s} +\sum^{m}_{s=1} T_{s}+E_g+E_f,$$ $$\sum^{n}_{k=1} \vec p_{k} = \sum^{m}_{s=1} \vec p_{s},$$

где $E_{k} = - \frac {\delta \Gamma M^2_k}{2R_k}$ есть полная энергия k-ой частицы в поле сильной гравитации; $~\delta$ — коэффициент, близкий к значению 0,6 ; $~\Gamma$ — постоянная сильной гравитации; $~M_k$ и $~R_k$ — масса и радиус k-ой частицы;

$T_{k} = \sqrt {p^2_k c^2 +M^2_k c^4} - M_k c^2$ — кинетическая энергия k-ой частицы в специальной теории относительности.

В полном балансе энергии учитывается, что n частиц в ходе взаимодействия преобразовались в m новых частиц, при этом выделилась (или наоборот, добавилась) энергия сильной гравитации $~E_g$, связанная с изменением радиусов и масс частиц, а также энергия возникающего электромагнитного и нейтринного излучения $~ E_f$. Взаимодействие между частицами приводит к перераспределению начальных импульсов и к добавочному их изменению за счёт энергии сильной гравитации, однако векторная сумма всех импульсов остаётся прежней. В результате оказывается, что закон сохранения количества вещества, вытекающий из закона сохранения и изменения носителей, остаётся в силе даже в реакциях с элементарными частицами. Ядерная энергия как энергия связи нуклонов в атомном ядре может быть найдена как разница полных энергий нуклонов в поле сильной гравитации, когда нуклоны находятся либо в ядре, либо отдельно друг от друга, и с учётом энергии вращения нуклонов и энергии поля гравитационного кручения. Это показывается в статье гравитационная модель сильного взаимодействия.

Вклад энергий в массу системы

Каждая система может иметь различные виды взаимодействия с окружающими телами и со своими собственными частями, характеризуемые определённым уровнем энергии взаимодействия. Фундаментальные дальнодействующие поля, такие как электромагнитное и гравитационное поля, имеют хорошо определённые тензоры, что позволяет точно учесть энергии поля как источник массы. В стандартной теории считается, что инертная масса определяется алгебраической суммой всех энергий системы. Отсюда следует, что если к положительной энергии покоя частиц вещества, из которого складывается гравитационно-связанная система, добавить гравитационную энергию, то релятивистская энергия системы уменьшится ввиду отрицательности гравитационной энергии. Соответственно, после объединения частиц в систему уменьшится и инертная масса системы, находимая как отношение инвариантной энергии и квадрата скорости света.

Другим доступным источником энергии является теплота, содержащаяся в веществе, так что если нагревать тело, то его масса должна расти. В целом инертная масса отражает интегральное свойство системы, определяемое всеми энергиями взаимодействия, откликаться посредством ускорения на действующие силы. Что касается гравитационной массы, то благодаря ей система создаёт гравитацию вокруг себя. Как правило, действующие силы могут быть выражены через градиенты от энергий, поэтому при симметричном распределении энергии в системе сила не возникает и система неподвижна либо движется с постоянной скоростью. Изменение скорости системы под действием силы означает совершение работы над системой и изменение энергии системы.

Существует альтернативная точка зрения, согласно которой инертная масса системы увеличивается за счёт собственной массы-энергии гравитационного поля, но также и уменьшается в ещё большей степени за счёт взаимодействия частиц системы с гравитационным полем, причём гравитационная масса превышает инертную массу. Данная точка зрения возникла при выводе ковариантной теории гравитации из принципа наименьшего действия. Кроме этого получается, что перенос электрического заряда на тело может уменьшить инертную массу за счёт массы-энергии электрического поля. При этом для случая идеального сферического коллапса масса системы с учётом вкладов от всех видов энергии должна оставаться неизменной. Было также показано, что интегральная сумма компонент энергии тензоров энергии-импульса поля ускорений, поля давления, электромагнитного и гравитационного полей для сферического тела должна быть равна нулю и не давать вклада в массу системы.

Соотношение между коэффициентами полей и формула для релятивистской энергии были уточнены соответственно в статьях. Это привело к тому, что и инертная и гравитационная массы релятивистской однородной системы с учётом вкладов от всех видов энергии должны увеличиваться по мере сжатия системы за счёт увеличения вкладов от собственной энергии гравитационного и электромагнитного полей за пределами системы. Для пяти масс системы получается выражение: $$~m' < M < m < m_b = m_g .$$

Здесь калибровочная масса $~m'$ связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; $~M$ есть инертная масса системы; вспомогательная масса $~m$ равняется произведению плотности массы частиц на объём вещества системы; масса $~m_b$ есть сумма инвариантных масс (масс покоя) частиц системы, равная по величине гравитационной массе $~m_g$ системы.

В  теории бесконечной вложенности материи это означает, что по мере перехода от одного уровня материи к более высокому уровню, когда множество объектов низшего уровня материи как частицы входят в состав того или иного объекта некоторого высшего уровня, инертная масса $~M$ этого объекта превышает калибровочную массу $~m'$, но меньше суммарной инертной массы $~m_b$ составных частиц, взятых по отдельности.

См. также

• Принцип суммирования энергий
• Предел массы-энергии поля
• Теорема энергии поля
• Сильная гравитация
• Постоянная сильной гравитации
• Гравитационная модель сильного взаимодействия
• Субстанциональная модель нейтрона
• Субстанциональная модель протона
• Специальная теория относительности
• Инерция
• Теория бесконечной вложенности материи
• Подобие уровней материи
• SPФ-симметрия
• Дискретность параметров звёзд
• Квантованность параметров космических систем
• Звёздные постоянные
• Водородная система
• Соотношение энергия-импульс
• Релятивистская масса
• Страница Эдварда Мюллера: Калькулятор антиматерии
• Энергия ядерного взрыва
• Страница рукописи Эйнштейна 1912 года с уравнением E=mc²
• E=mc²