Аналитическая функция

Аналитическая функция Понятие Функция

Отношения с другими понятиями:

Теория:

Математический анализ

Функция:

Аналитическая функция • Специальная функция • Функция высшего порядка • Функция первого порядка 
   » Тригонометрические функции

Аналитическая функция:

• действительной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

  Однозначная функция f называется аналитической в точке z₀, если сужение функции f на некоторую окрестность z₀ является аналитической функцией.

  Если функция аналитична в точке z₀ то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z₀.

• комплексной переменной — функция комплексной переменной $f(z)=u(z)+iv(z)$ (где $u(z)$ и $v(z)$ — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области $A\in\mathbb C$, называемой областью аналитичности, выполняется одно из трех равносильных, как доказвается в курсе комплексного анализа условий:
  1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке $z=x+iy\in A$ выполняются условия Коши - Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);
  2. Ряд Тейлора функции в каждой точке $z\in A$ сходится и его сумма равна $f(z)$ (аналитичность в смысле Вейерштрасса);
  3. Интеграл $\int_\Gamma\,f(z)\,dz=0$ для любой замкнутой кривой $\Gamma\subset A$ (аналитичность в смысле Коши).

Свойства

1. Если $f(z)$ и $g(z)$ аналитичны в области $G\subset\mathbb C$, то аналитическими в $G$ также будут функции $f(z)\pm g(z)$, $f(z)\cdot g(z)$ и $f(g(z))$.
2. Если $g(z)$ в области $G$ не обращается в ноль, то $\frac{f(z)}{g(z)}$ будет аналитична в $G$
3. Если $f'(z)$ в области $G$ не обращается в ноль, то $f^{-1}(z)$ будет аналитична в $G$.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме — множество нулей аналитической в односвязной области функции не может иметь в этой области предельных точек, в противном случае функция тождественно равна нулю.

Примеры

Все многочлены являются аналитическими функциями во всей плоскости $\mathbb C$. Далее, аналитическими (правда, в большинстве случаев в каких-то определенных областях) являются элементарные функции.

Но:

1. Функция $f(z)=|z|$ не является аналитической в $\mathbb C$, так как она не имеет производной в точке $z=0$.
2. Функция $f(z)=\overline{z}$ не является аналитической по тем же соображениям. Однако её сужение на вещественную ось будет аналитической функцией, так как оно будет совпадать с сужением функции $f(z)=z$.