Быстрота

Быстрота́ (англ. rapidity) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»).

Быстрота выражается формулой: $$\theta=c\,\mathrm{Arth}\,\frac{v}{c}=\frac{c}{2}\ln\frac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}},$$ где

• $~\theta$ — быстрота,
• $~v$ — обычная скорость,
• $~c$ — скорость света,
• $\mathrm{Arth}\,x$ — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) $\mathrm{Arth}\,x\equiv\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ определён в области значений аргумента от −1 до +1; при $x\to\plusmn 1$ $\mathrm{Arth}\,x\to\plusmn\infty.$

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от $~-c$ до $~+c$ меняется от $-\infty$ до $+\infty$. Иногда вводят также параметр быстроты $\varphi\equiv\theta/c\equiv\mathrm{Arth}\,\frac{v}{c}$ — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой.

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости: $$\theta\approx v\left(1+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)$$при $v\ll c.$. Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или Ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как $$\gamma\equiv\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}.$$ Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты: $$\gamma=\mathrm{ch}\,\varphi.$$ С увеличением скорости от 0 до $~c$ Лоренц-фактор $~\gamma$ увеличивается от 1 до $+\infty$.

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта $~K$ две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна $~v_1$, а скорость второй относительно первой равна $~v'_2$ (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе $~K$ через $~v_2$. При малых (по сравнению со скоростью света $~c$) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей $~v_2=v_1+v'_2$. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей $$v_2=\frac{v_1+v'_2}{1+\dfrac{v_1v'_2}{c^2}}$$ отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты $\theta \equiv c\,\mathrm{Arth}\frac{v}{c}$. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта $K$ равна сумме быстрот: $$~\theta_2=\theta_1+\theta'_2.$$ Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

См. также

• Псевдобыстрота
• Лоренцевский буст

Литература

• Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского // Соросовский образовательный журнал. — т. 8. — 2004. — с. 77—84 [1].
• Прохоров А. М., Физическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 233. — 704 с.^{о книге}