Градиент

Таким образом операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены в горку и тем длиннее, чем круче наклон.

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой.

Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку» или многомодовое оптическое волокно, где в светопроводящем материале (например, в кврцевом стекле) использовано явление градиента коэффициента преломления n.

ОпределениеПравить

Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами φ x \frac {\partial \varphi} {\partial x} , φ y \frac {\partial \varphi} {\partial y} , φ z \frac {\partial \varphi} {\partial z} , где φ \varphi — некоторая скалярная функция координат x x , y y , z z .

Если φ \varphi — функция n n переменных x 1 , , x n x_1,\;\ldots,\;x_n , то её градиентом называется n n -мерный вектор ( φ x 1 , , φ x n ) , \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\;\ldots,\;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right),

компоненты которого равны частным производным φ \varphi по всем её аргументам.

Градиент обозначается grad φ \mathrm{grad}\,\varphi или, с использованием оператора набла, φ \nabla \varphi .

Из определения градиента следует, что:

grad φ = φ = φ x e x + φ y e y + φ z e z . \mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z.

Смысл градиента любой скалярной функции f f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения d x d\mathbf{x} дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f f , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f f при смещении на d x d\mathbf{x} . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

d f = f x 1 d x 1 + f x 2 d x 2 + f x 3 d x 3 + = i f x i d x i = ( grad f d x ) . df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\,dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\,dx_2 + \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x).

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x i x_i , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку d x d\mathbf{x} — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

d f = i ( i f ) d x i d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

d f = ( i f ) d x i df=(\partial_i f)\,dx^i

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

ПримерПравить

Например, градиент функции φ ( x , y , z ) = 2 x + 3 y 2 sin  Синус  z \varphi(x,\;y,\;z)=2x+3y^2-\sin z будет представлять собой: φ = ( φ x , φ y , φ z ) = ( 2 , 6 y , cos  Косинус  z ) \nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z)

В физикеПравить

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды, градиент коэффициента преломления n световых лучей в многомодовых воло́кнах (Волоконная оптика) и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Параболический градиент показателя преломленияПравить

  Основная статья: Волоконная оптика
 
Градиентная линза с параболической зависимостью показателя преломления (n) от радиального расстояния (x). Такая линза фокусирует свет, не так как традиционные линзы.

Если показатель преломления среды не постоянен, но изменяется с определённым ускорением и когда известен материал, то это — оптический материал с градиентным профилем. Прохождение светового луча через такую среду может быть с изменением траектории волны (например, по параболе)или сосредоточено по прямой линии. Этот эффект используется при изготовлении линз, некоторых оптических волокон (многомодовых) и других оптических устройствах. Немного явлений — общих миражей также вызваны пространственно-переменным градиентным коэффициентом преломления n нагретового воздуха.[1][2]

Геометрический смыслПравить

Рассмотрим семейство линий уровня функции φ \varphi : γ ( h ) = { ( x 1 , , x n ) φ ( x 1 , , x n ) = h } . \gamma(h)=\{(x_1,\;\ldots,\;x_n)\mid \varphi(x_1,\;\ldots,\;x_n)=h\}.

Нетрудно показать, что градиент функции φ \varphi в точке x 0 \vec{x}{\,}^0 перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности x 0 \vec{x}{\,}^0 , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

Связь с производной по направлениюПравить

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции φ \varphi по направлению e = ( e 1 , , e n ) \vec{e}=(e_1,\;\ldots,\;e_n) равняется скалярному произведению градиента φ \varphi на единичный вектор e \vec{e} : φ e = φ x 1 e 1 + + φ x n e n = ( φ , e ) \frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi} {\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi,\;\vec e)

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатахПравить

grad U ( q 1 , q 2 , q 3 ) = 1 H 1 U q 1 e 1 + 1 H 2 U q 2 e 2 + 1 H 3 U q 3 e 3 , \operatorname{grad}\,U(q_1,\;q_2,\;q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3, где H i H_i коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)Править

Коэффициенты Ламе: H 1 = 1 ; H 2 = r . \begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r. \end{matrix} Отсюда: grad U ( r , θ ) = U r e r + 1 r U θ e θ . \operatorname{grad}\,U(r,\;\theta) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta}.

Цилиндрические координатыПравить

Коэффициенты Ламе: H 1 = 1 ; H 2 = r ; H 3 = 1. \begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = 1. \end{matrix} Отсюда: grad U ( r , θ , z ) = U r e r + 1 r U θ e θ + U z e z . \operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}.

Сферические координатыПравить

Коэффициенты Ламе: H 1 = 1 ; H 2 = r ; H 3 = r sin  Синус  θ . . \begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = r\sin{\theta}. \end{matrix}. Отсюда: grad U ( r , θ , φ ) = U r e r + 1 r U θ e θ + 1 r sin  Синус  θ U φ e φ . \operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;\varphi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\varphi}\vec {e_\varphi}.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить