Евреи в математике
Евреи в математике — занятие евреев математикой[1].
Библейская эпохаПравить
Древние израильтяне владели математическим аппаратом сравнительно неглубоко и сугубо в прикладных целях.
Существовала математическая терминология, например обозначение цифр десятеричной системе (эсер — 10, эсрим — 20; меа — 100, матаим — 200, ... , элеф — 1000, ревава — 10 000, ... , элеф алафим — 1 000 000). Причём написание цифр было словесным, а не цифровым, как уже, например, было в Вавилонии.
Математика в Библии как правило применялась для торговых операций, подсчёта населения и прочих конкретных действий.
Единицы мер и весов основаны как правило на шестиричной и двенадцатиричной системах.
Абстрактных чисел израильтяне не знали.
Дробные числа, упоминаемые в Библии — 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и 1/10[2].
Израильтяне знали и использовали четырех арифметических действия[3].
Число π — геометрическое понятие, выражающее отношение длины окружности к диаметру, стало известно израильтянам в связи со строительством Храма, где возникла необходимость рассчитывать площадь круглых плоских поверхностей, и с измерением так называемого «Соломонова моря»[4]. Причём, число π грубо равнялось 3.
Греко-римская эпохаПравить
Сведения о познаниях евреев в математике в эпоху эллинизма лишь косвенные, но красноречивые: грандиозные сложные строительства которые вёл Ирод Великий, инженерные подземные сооружения повстанцев Шимона Бар-Кохбы и т. д. говорят о том, что математические познания в Иудее шагнули далеко вперёд. Свитки той эпохи показывают, что даже евреи, занятые в сельском хозяйстве, использовали математический аппарат для прикладных вычислений. Началось распространение у евреев мореходства и морской торговли, которые требуют познаний в математике, инженерном деле, астрономии и т. п.
Начиная с эпохи Хасмонеев евреи стали использовать буквенное обозначение чисел (буквами от алеф до тет обозначались числа 1-го порядка, от йод до цадэ — 2-го, от коф до тав третьего (до 400), а последующие — сочетанием букв).
Появляются первые евреи-учёные, связанные с математикой, в частности Марин Неаполитанский, Домнин и Филон Византийский.
Талмудическая эпохаПравить
Талмуд в математике недалеко ушёл от Библии, и по прежнему считалось[5], что «всякий предмет, имеющий в окружности 3, имеет в ширину (диаметром) 1». Лишь в одном месте величина и (отношение окружности к диаметру) определяется равным 3,143[6].
Имеются в Талмуде примеры решения сравнительно сложных для того времени геометрических задачи, связанных с галахическими вопросами о «килаим», «Эрубин», об устройстве «Кущей» и пр.
Определяются в Талмуде, правда, не вполне точно, такие величины, которые относятся к иррациональным числам. Так, вопрос об отношении диагонали (אלבםון) к стороне квадрата — иррациональное число √2 (отношение диагонали к стороне квадрата, принимаемое равным 12/5) определяется в Талмуде формулой, что «всякой единице (локтю) в стороне квадрата соответствует 1,4 в его диагонали»[7]. Тосафот, однако, ad loc. s. v. בל остроумным построением доказывает неточность талмудического определения отношения диагонали к стороне квадрата, но, вместе с тем, приходит к выводу, что для галахических вопросов не требуется математической точности.
Талмуду приходилось иметь дело и с другими иррациональными числами. По поводу одной галахи потребовалось определить, чему равняется сторона квадрата, площадь которого равна «Бет-Саатаим», םאתים, то есть 5000 кв. локтей. Мишна[8] определяет его в 70 с дробью, שבעיםאמה ושידײם. Маймонид в комментарии объясняет, почему Мишна не определяет точно этого числа, и говорит, что это число можно выразить только приблизительно, что оно иррациональное, или, как он выражается, «число без предела», что «его невозможно точно выразить, как нельзя выразить точно отношения между окружностью и диаметром. Здесь никогда нельзя достигнуть предела, и это не следствие недостатка наших познаний, это лежит в самой природе этих чисел».
Талмудисты довольно часто и легко оперировали геометрическими фигурами: треугольниками, квадратами, кругами, вписанными в квадраты и описанными вокруг них, а также соотношением между их элементами, решаются задачи, связанные с различными геометрическими фигурами — треугольниками, окружностями, квадратами, а также вписанными в окружность квадратами, вписанными в квадрат окружностями. Видно, что их математические познания хотя и были далеко не систематизированы, отличались глубиной и остроумием комбинаций.
В Талмуде часто делаются попытки приблизительно исчислять площади фигур, ограниченных отчасти прямыми, отчасти кривыми линиями, например определение площади сегментов в круге, описанном вокруг квадрата. Определение не вполне точное, но для конкретных целей галахи достаточное (например, определяют площадь сегмента круга, описанного вокруг квадрата).
Сложный математический инструментарий использовался для астрономических вычислений, необходимых для составления календаря, например, для определения новолуния, продолжительности года, месяца, суток и часа. Отмечается, что для астрономических вычислений, производимых в Талмуде, требовалось знание основ тригонометрии.
Шмуэль Ярхинаа занимался вопросами экономики и астрономии, интересовался движением комет. Его астрономические познания относительно движений Луны давали ему возможность определять начало месяца.
Средние векаПравить
Древнейший известный еврейский чисто математический труд — «Мишнат ха-миддот» («Учение о мерах») — большинство исследователей датируют не ранее чем IX века. Шерира и Гаи Гаон в респонсе приводят сочинение םפד לאותות ולמוערים (по астрономии) некоего Рабба бар-Леви, где талмудическим словом פונדױן обозначается 1/12 часть; это была попытка изложить элементы геометрии.
Первым средневековым евреем-математиком был Машаллах ибн Атари ал-Басри (754—813), астроном из Египта, в работах которого, позднее переведенных на латынь, изложены основы греческой математики. Его современником был Сахл ибн Бишр, автор труда по алгебре («Ал-джабар валь-мукабала»). В IX век Али Синд ибн Али выпустил трактат с таким же названием и комментариями к «Элементам» Евклида, а Сагль аль-Табари занимался геометрией.
Евреи прославились составлением астрономических таблиц, чем занимался вышеупомянутый Синд бен-Али, а позже Исаак ибн-Сид, принимавший главное участие в составлении Альфонсовых таблиц, Иосиф ибн-Ваккар и др.
В X и XI веках работали Яаков бен Ниссим из Кайруана, автор труда «Хисаб аль-Губар» по индусской математике, и Башар бен-Пинхас Ибн-Шуайб (все вышеупомянутые учёные писали по арабски), Дунаш ибн Тамим.
С XII века стали появляться математические книги, написанные по-еврейски.
Авраам бар-Хия дал первое изложение геометрии на иврите «Хиббур ха-мешиха ве-ха-тишборет» («Трактат об измерении площадей и исчислении дробей»), а также написал труд «Иесодей ха-твуна» («Основоположения разума») — энциклопедии арифметики, геометрии, астрономии и музыки.
Самуил абу-Наср ибн-Аббас написал по-арабски книгу по геометрии по запросу султана Абу аль-Фатха Шах Газзи.
Математикой занимался и Авраам ибн-Эзра.
В XIII веке увеличились переводы на иврит трудов греческих и арабских математиков: в 1238 году Иехуда бен Шмуэль ха-Кохен из Толедо выпустил на арабском, а затем перевел на иврит энциклопедию, содержавшую отрывки из «Элементов» Евклида; в 1278 году появился их полный перевод с арабского, выполненный Моше Ибн Тиббоном; Яаков бен Махир выполнил перевод книг греческого математика Гипсикла Александрийского; позже Калонимос бен Калонимос бен Меир перевёл на иврит комментарии к ним Ал-Фараби. Выполнил перевод на иврит комментариев Ал-Фараби (арабский оригинал не сохранился) к 1-й и 5-й книгам «Элементов» Евклида. В XIII—XIV веках были переведены труды греческого математика Менелая Александрийского о сферических фигурах (его сделал тот же Яаков бен Махир), работы Архимеда «Об измерении длины окружности» и «Исследование коноидов и сфероидов» (перевод сделал Калонимос бен Калонимос) и ряд других книг. Один переводный комментарий принадлежит Аврааму бен-Соломону Ярхи. Иосиф Дельмедиго сообщает о еврейском переводе Илии Мизрахи. «Дата» Евклида с арабской версии Хунайна ибн-Исхака переведены Яковом б.-Махиром под названием «Сефер га-Маттана».
Калонимосу принадлежит и «Сефер Мешалим бе-Тишборет» — сборник алгебраических задач.
В XIV веке крупнейшим математиком являлся Герсонид, автор комментариев к 1-й и 3–5 книгам «Элементов» Евклида.
К XIV веку относится и трактат на мишнаитско-талмудическом иврите крещённого еврея Альфонсо де Вальядолида «Меяшшер аков» («Выпрямляющий кривое»). Место этого труда в истории науки определяется во многом самостоятельным анализом ряда центральных тогда проблем чистой математики (построение прямолинейных отрезков той же длины, что кривые линии, «квадратура» плоских фигур, ограниченных кривыми линиями, «кубатура» тел, ограниченных кривыми поверхностями и т. д.), а также впервые, вероятно, высказанной в послеантичную эпоху идеей применения принципа движения в геометрии. Попытка автора доказать 5-й постулат Евклида, исходя из соображений кинематики, свидетельствует, что его внимание уже привлекали те области математики, развитие которых привело в XVII веке к созданию дифференциального и интегрального исчисления, а в XIX веке — к неевклидовой геометрии.
В XV веке вышел трактат Мордехая Коматяно, учителя Илии Мизрахи, в двух частях, об арифметике, алгебре и геометрии, под названием «Мелехет га-Миспар», перевод Мордехая бен-Авраама Финци «Тахбулат га-Миспар», труд по алгебре Абу Камиль Шуии и по геометрии под названием «Хохмат га-Медида». Писал и Иуда Ибн-Верга.
Христофор Колумб в своём путешествии опирался на достижения учёных евреев, таких как Авраам Закуто, Йосеф Диего Мендес Визинхо и др.
Новое времяПравить
Выходец из крещённых евреев Педру Нуниш внёс крупный вклад в математику.
Еврейскими математиками XVI века были летописец Давид Ганс, которому принадлежат «Маор га-Катан», «Мигдал Давид» и «Проздор», а также Иссахар бен-Мордехай Ибн-Шошан.
Из математиков XVII века известен Иосиф Дельмедиго, давший в своем труде «Босмат бат Шеломо» общий обзор геометрии; некоторые главы его «Маян Ганним» (а также «Elim») посвящены тригонометрии и алгебре.
Произведения Евклида появились впервые в еврейском переводе Авраама бен-Иосифа Менца с примечаниями Меира из Фюрта под названием «Решит Лиммудим гу Сефер Иклидес» (Берлин, 1795). 5 лет спустя появился новый перевод первых 6 книг «Элементов» Евклида, сделанный Барухом Шиком (Гаага, 1780), а в 1875 году были напечатаны в Житомире 11 и 12 книги.
Во 2-й половины XVIII века виленский гаон р. Илии написал ряд трактатов по тригонометрии, геометрии, алгебре и астрономии.
СовременностьПравить
В XIX веке евреи вернулись в большую науку, включая и математику, и с тех пор занимают в ней видное место. Одним из первых выдающихся математиков-евреев был английский ученый Д. Сильвестер (1814—1897), чьи работы во многом способствовали становлению современной алгебры, теории чисел, теории вероятностей и заложили основы современных теорий инвариантов.
Из их числа вышли многие крупные математики — Леопольд Кронекер, Георг Кантор, Герман Минковский, Фердинанд Эйзенштейн, Рудольф Липшиц, Эмми Неттер, Георг Кантор, Рихард Курант, Луиджи Кремона, Гвидо Фубини, Жак Адамар, Поль Леви, Туллио Леви-Чивита, Эдмунд Ландау, Пал Эрдёш, Норберт Винер, Джон фон Нейман, Израиль Моисеевич Гельфанд и многие другие.
В Израиле математика и связанные с ней дисциплины, особенно информатика, развиты сравнительно хорошо. Песах Хеврони стал одним из создателей израильской математики. Абрахам Френкель — со-создатель первой аксиоматики теории множеств, открывшей путь к исследованию её парадоксов и антиномий; Б. Амир — основатель Института математики при Еврейском университете в Иерусалиме и первого израильского математического журнала; Йегошуа Бар-Хиллел — автор фундаментальных исследований в области оснований математики, Шимшон Амицур — крупный алгебраист (теория колец, теория групп); Шмуэль Агмон — дифференциальные уравнения в частных производных и функционального анализа (особенно теория операторов); И. Р. Оман — теория игр; Михаэль Ошер Рабин — математическая логика, теория алгоритмов, математическая теория автоматов; Гилель Фюрстенберг — эргодическая теория, теория чисел, теория вероятностей, теория некоммутативных (неабелевых) групп; Йорам Линденштраус — функциональный анализ и геометрия; А. Забродский — алгебраическая топология, гомотопическая теория; Биньямин Вайс — эргодическая теория, теория вероятностей, топологическая динамика; Сахарон Шелах — математическая логика, и т. д.