Интерполяционный многочлен Лагранжа

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы y_j l_j(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x_i

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа (интерполяционный полином Лагранжа) — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для $n+1$ пар чисел $(x_0, y_0), (x_1, y_1)\dots ,(x_n, y_n)$, где все $x_i$ различны, существует единственный многочлен $L(x)$ степени не более $n$, для которого $L(x_i) = y_i$.

В простейшем случае ($n=1$) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов: $$L(x) = \sum_{j=0}^n y_j l_j(x)$$ где базисные полиномы определяются по формуле: $$l_j(x)=\prod_{i=0, j\neq i}^{n} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0} \cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}} \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}} \cdots \frac{x-x_{n}}{x_j-x_{n}}\,\!$$ $l_j(x)$ обладают следущими свойствами:

• являются многочленами степени $n$
• $l_j(x_j)=1$
• $l_j(x_i)=0$ при $i\ne j$

Отсюда следует, что $L(x)$, как линейная комбинация $l_j(x)$, может иметь степень не больше $n$, и $L(x_j)=y_j$, Q.E.D.

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции $f(x)$ известны значения $y_j=f(x_j)$ в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как $$f(x) \approx \sum_{j=0}^n f(x_j) l_j(x)$$

В частности, $$\int\limits_a^b f(x)dx \approx \sum_{j=0}^n f(x_j) \int\limits_a^b l_j(x) dx$$ Значения интегралов от $l_j$ не зависят от $f(x)$, и их можно вычислить заранее, зная последовательность $x_i$.

Для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции

В указанном случае можно выразить $x_i$ через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку $x_0$: $$x_j \equiv {x_0 + jh},$$ и, следовательно, $${x_i - x_j} \equiv (i - j)h .$$ Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим $$l_i(x) = { \prod_{j=0,\,j \ne i}^n {(x - x_j) \over (x_i - x_j)}} = {\prod\limits_{j=0,\,j \ne i}^n (x - x_0 - jh) \over h^{n-1} \prod\limits_{j=0,\,j \ne i}^n (i - j)}$$ Теперь можно ввести замену переменной $$y = {{x - x_0} \over h}\,\!$$ и получить полином от $y$, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.

Внешние ссылки

• Аппроксимация функций.