Конус

Конус (прямой круговой)

Конус (усеченный круговой )

Ко́нус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

В математике коническим сечением, или коникой именуют пересечение плоскости с круговым конусом.

Также конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в данном случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). В дальнейшем будет рассматриваться этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

$$~2\pi \left(1 - \cos {\alpha \over 2} \right)$$

где $~\alpha$ — угол раствора конуса (то есть угол между двумя противоположными образующими).

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

$$~S = \pi R l$$

где $~R$ — радиус основания, $~l$ — длина образующей.

• Объем кругового конуса равен

$$V={1 \over 3} \pi R^2H$$

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Обобщения

В алгебраической геометрии конус — это произвольное подподмножество $K$ векторного пространства $V$ над полем $F$, для которого для любого $\lambda\in F$ $$\lambda K = K$$

См. также

• Коническая поверхность
• Коническое сечение
• Конус (топология)