Коэффициент размножения нейтронов

Коэффициент размножения нейтронов k — отношение числа нейтронов последующего поколения к числу в предшествующем поколении во всём объеме размножающей нейтроны среды (активной зоны ядерного реактора). В общем случае, этот коэффициент может быть найден с помощью формулы четырёх сомножителей: $$k_0=\mu \phi \theta \eta \!,$$ где

• k₀ — коэффициент размножения в бесконечной среде;
• μ — Коэффициент размножения на быстрых нейтронах;
• φ — Вероятность избежать резонансного захвата;
• θ — Коэффициент использования тепловых нейтронов;
• η — Выход нейтронов на одно поглощение.

Общие сведения

Поскольку каждая новая цепь начинается одной частицей, то размножение цепей есть размножение частиц. Величина коэффициента размножения показывает — увеличивается, убывает или остается неизменным полное число нейтронов в реагирующем объёме по прошествии среднего времени цикла обращения нейтрона.

Каждый нейтрон, участвующий в цепном процессе, претерпевает цикл обращения: рождается в реакции деления, некоторое время существует в свободном состоянии, затем либо теряется, либо порождает новый акт деления и даёт нейтроны следующего поколения. Сменяющиеся поколения нейтронов разделены актами деления.

Критическое состояние характеризуется условием k = 1. При k < 1 состояние вещества называется подкритическим и цепная реакция быстро затухает, если в начальный момент в среде существовало какое-то число нейтронов, а если в начальный момент нейтронов не было, то цепная реакция вообще невозможна. В надкритическом состоянии k > 1 и цепная реакция лавинообразно нарастает до тех пор, пока в силу каких-либо причин не станет k < 1. Поскольку тяжёлые ядра могут делиться самопроизвольно, то какое-то малое число нейтронов всегда присутствует в среде, включающей тяжёлые нуклиды, а значит, всегда находится первый нейтрон, начинающий цепной процесс. Кроме того, свободные нейтроны появляются повсюду как продукты ядерных реакций, возбуждаемых космическими частицами, так что при достижении состояния с k > 1 цепная реакция деления начинается сама по себе и немедленно.

Ядерный реактор

Основная статья: Ядерный реактор

Достижение критического состояния представляет наибольший интерес с точки зрения получения контролируемого источника энергии. В критическом состоянии число нейтронов не меняется во времени. Следовательно, число актов деления в единицу времени, а значит, и энерговыделение постоянны. Абсолютная величина энерговыделения при этом может быть установлена в любое значение с помощью системы управления цепной реакцией. Вблизи критического состояния допускается небольшое и несложно осуществимое превышение k над единицей. Введение в размножающую среду дополнительного количества делящегося материала приводит к избыточному размножению цепей реакций, т. е. сопровождается повышением k. Напротив, введение поглотителя нейтронов увеличивает число обрывов цепей и снижает k. Кроме того, возможно применение веществ — отражателей нейтронов, перемещение которых вблизи размножающей среды уменьшает или увеличивает потери нейтронов из-за утечки, что также изменяет число обрывов цепей. Манипуляции указанными элементами управления позволяют начинать цепную реакцию, достигать любой уровень мощности, поддерживать стационарный режим в критическом состоянии и прекращать цепной процесс. Установка с контролируемой цепной реакцией деления и представляет собой ядерный реактор. Та часть реактора, которая содержит делящийся материал и собственно в которой протекает цепная самоподдерживающаяся реакция деления, называется активной зоной реактора.

Критические параметры

Обращение коэффициента размножения в единицу достигается сбалансированием размножения нейтронов с их потерями. Причин потерь фактически две: захват без деления и утечка нейтронов за пределы размножающей среды. Вклад в потери процесса β-распада нейтрона пренебрежимо мал из-за очень большой разницы между временем нейтронного цикла в реакторе (<10⁻³ сек) и временем жизни свободного нейтрона (≈10³ сек). Конкуренция между процессами деления и радиационного захвата прежде всего определяется соотношением количеств делящегося и других материалов в активной зоне реактора. Утечка же нейтронов, в первую очередь, зависит от размеров и геометрической формы активной зоны. По этой причине задача определения условий, при которых k=1, обычно разбивается на две части — сначала определяется коэффициент размножения в среде без утечки. Отсутствие утечки означает бесконечно большой объём вещества, а соответствующий ему коэффициент размножения называется коэффициентом размножения в бесконечной среде k₀. Очевидно, что k < k₀, поскольку в конечном объёме вследствие утечки, потери нейтронов обязательно больше, чем в бесконечном. Поэтому, если в веществе данного состава k₀ < 1, то цепная самоподдерживающаяся реакция невозможна как в бесконечном, так и в любом конечном объёме. Таким образом, k₀ определяет принципиальную способность среды размножать нейтроны.

Если k₀ > 1, то всегда существует объём конечных размеров, в котором может быть достигнуто условие $$k = k_0w = 1\!$$    (1),

где w есть доля полного числа образующихся в реакторе нейтронов, поглощённых в активной зоне реактора, или вероятность избежать нейтрону утечки из конечного объема. Доля потерянных вследствие утечки нейтронов при этом равна 1−w. Число w зависит от геометрических размеров и может быть как угодно мало при уменьшении объёма активной зоны. В самом деле, поскольку любая единица объёма вещества поглощает нейтроны, то число поглощений пропорционально объёму, или R³_эфф, где R_эфф — эффективный линейный размер тела. Утечка нейтронов происходит только через поверхность тела, и поэтому число ушедших из конечного объема нейтронов пропорционально поверхности тела, или ~R²_эфф. Поэтому соотношение между поглощением и утечкой, пропорциональное R³_эфф/R²_эфф=R_эфф снижается при уменьшении объёма тела и стремится к нулю при R_эфф→0. При этом и w→0. Значит, в случае k₀ > 1 условие (1) всегда может быть выполнено. Геометрические размеры активной зоны, которым соответствует k = 1, называются критическими размерами. Соответствующий объем активной зоны также называется критическим, а масса делящегося материала в критическом объеме — критической массой. Определение критических параметров размножающих сред составляет основную физическую задачу ядерного реактора, а необходимый при получении k = 1 расчет фактора w в (1) связан с решением задачи о диффузии нейтронов в веществе реактора. В заданном объеме с известным w критическое состояние может быть достигнуто также путем подбора состава среды с необходимым k₀. Относительная концентрация делящегося материала, в активной зоне реактора, обращающая (1) в единицу, также называется критической.

Развитие цепной реакции деления во времени

Изменение числа нейтронов в некритическом реакторе определяется отличием k от единицы и временем нейтронного цикла $\tau\!$. Если в некоторый момент времени в реакторе имеется n нейтронов, то по определению коэффициента размножения, их число по прошествии одного цикла обращения станет равным kn, а приращение за время цикла, составит $(kn-n)=n(k-1)\!$. Следовательно, изменение числа нейтронов в единицу времени $${{dn} \over {dt}} = {{n(k-1)} \over {\tau}}$$(2)

Решение этого уравнения даёт зависимость числа нейтронов от времени $$n(t)=n_0\exp{{k-1} \over {\tau}\,t}$$(3)

где n₀ — число нейтронов в момент t = 0. Наибольшее время цикла характерно для реакторов на тепловых нейтронах, где оно достигает $\tau\!$=10⁻³ сек. Если предположить, что k=1,01, то через каждую секунду число нейтронов возрастает в ${{n(1)}\over{n_0}}={\exp{{0.01} \over {0,001}}}=e^{10} \approx 20000$ раз, и в такое же число раз возрастает число делений, т. е. энерговыделение в реакторе. Следовательно, в контролируемой установке превышение k над единицей всего на 0,01 уже недопустимо. Правда, приведённая оценка не учитывает запаздывающих нейтронов и поэтому является завышенной. Однако если k−1 больше доли запаздывающих нейтронов β, то развитие цепной реакции во времени происходит практически в соответствии с (3).

В средах из чистых делящихся материалов времена нейтронных циклов имеют порядок 10⁻⁸ сек. При k=1,1 один начальный нейтрон через 6 мксек порождает 10²⁶ нейтронов, или одно деление — 10²⁶ делений, что эквивалентно делению около 40 кг урана в момент t=6 мксек за время нейтронного цикла или 400 кг урана за все 6 мксек. Эта оценка показывает, что скорость нарастания цепной реакции деления может быть необычайно высока, а практически мгновенное энерговыделение представляет собой ядерный взрыв. Мощности ядерных взрывов обычно оценивают в эквивалентах наиболее распространённого химического взрывчатого вещества — тринитротолуола ТНТ. Выделяющаяся при делении 1 кг урана энергия равна энергии, освобождающейся при взрыве 20 000 тонн ТНТ. Существование критической массы в цепных реакциях создаёт определенный предел количеству делящегося вещества, которое может участвовать в процессе, поскольку до начала процесса каждая из частей, соединяемых при получении взрыва, должна быть подкритична. Это ограничивает мощность ядерных взрывов с использованием урана или плутония десятками или сотнями тысяч тонн ТНТ. Термоядерные взрывы такого ограничения не имеют, поскольку синтез легких ядер протекает через механизм теплового возбуждения, которому не присущи критические явления.

Нейтронный цикл

Рассмотрение нейтронного цикла целесообразно начать с деления ядер ²³⁵U тепловыми нейтронами и появления n быстрых нейтронов очередного поколения. Поскольку около половины этих нейтронов имеют энергию выше порога деления ²³⁸U, они могут вызвать деление ядер ²³⁸U. Каждый акт деления требует затраты одного быстрого нейтрона, но в результате деления появляется в среднем 2,8 новых быстрых нейтронов, так что этот процесс приводит к умножению числа нейтронов. Величина умножения зависит от состава среды и способа размещения веществ активной зоны по её объёму. Фактор, показывающий, во сколько раз увеличивается число нейтронов деления ²³⁵U вследствие дополнительного деления ²³⁸U, называется коэффициентом размножения на быстрых нейтронах. Быстрые и промежуточные нейтроны слабо поглощаются ядрами атомов. Исключение составляет только поглощение в низко расположенных резонансах ядер средних и больших массовых чисел. Несмотря на то что ширины резонансов Г много меньше среднего сброса энергии при замедлении ξE и большинство замедляющихся нейтронов никогда не имеет энергию, совпадающую с энергией резонансов, резонансное поглощение всё же оказывается существенным. Это объясняется как очень большими величинами сечений захвата при резонансных энергиях, так и снижением ξE при замедлении, определяющем возрастание плотности потока Ф при малых энергиях.

Поскольку резонансный захват препятствует цепной реакции, вещества с резонансным захватом в активных зонах реакторов не используются. Исключение составляет лишь ²³⁸U, который неизбежно попадает в ядерный реактор совместно с ²³⁵U. Поэтому, говоря о поглощении нейтронов при замедлении, имеют в виду прежде всего резонансный захват в ²³⁸U. В сравнении с ним поглощение при нерезонансных энергиях очень мало. В процессе работы ядерного реактора появляются и другие вещества, обладающие резонансным захватом. Из ²³⁸U в реакторах вырабатывается ²³⁹Pu, а затем ²⁴⁰Pu, который является пороговым нуклидом, и поэтому поглощение, в резонансах ²⁴⁰Pu сопровождается только радиационным захватом, как и в случае ²³⁸U. Резонансным захватом обладают и многие продукты деления, однако, наибольший вклад обычно даёт ²³⁸U.

Доля нейтронов, не поглотившихся при замедлении, учитывается фактрром φ — вероятностью избежать резонансного захвата. Уран-235 также обладает резонансным поглощением, но оно чаще ведёт к делению, чем к радиационному захвату, и, следовательно, при нём происходит умножение числа нейтронов. Однако в тепловых реакторах на естественном или слабообогащённом уране число таких делений мало в сравнении с числом делений в тепловой области и ими можно пренебречь.

Следует также отметить, что, хотя резонансный захват в ²³⁸U мешает развитию цепной реакций, он не представляет совершенно бесполезную потерю нейтронов, поскольку после поглощения ядром ²³⁸U нейтрона, не важно с какой энергией, всегда получается делящийся ²³⁹Pu. Однако такое превращение неделящегося ²³⁸U в делящийся материал возможно только по осуществлении цепной самоподдерживающейся реакции, что требует повышения k₀ и, значит, в частности, снижения резонансного захвата.

В отсутствие утечки все замедлившиеся до тепловой энергии нейтроны поглощаются ядрами атомов среды. Одна часть нейтронов поглощается в процессе радиационного захвата, другая — с делением ²³⁵U. В гомогенных средах и та и другая части просто выражаются через сечения. В гетерогенных средах возникает особенность в распределении потока нейтронов по объёму элементарной ячейки, благодаря чему, по-разному выражается поглощение нейтронов внутри уранового блока и за его пределами. Доля нейтронов, поглощённых веществом уранового блока, определяется коэффициентом теплового использования θ, а долю нейтронов, вызвавших при поглощении в блоке деление ²³⁵U, обозначим через х. Только эта последняя величина порождает нейтроны следующего поколения.

Формула четырёх сомножителей

В результате каждого акта деления освобождается ν быстрых нейтронов. В итоге по завершении нейтронного цикла n нейтронов предшествующего поколения обращается в nμφθxν нейтронов следующего поколения. По определению коэффициента размножения нейтронов $$k_0=\mu \phi \theta x \nu \!$$ Величина х выражается через сечения и самостоятельно не употребляется. Вместо неё используется другая $$\eta=\nu x\!,$$ которая представляет собой число вторичных нейтронов, приходящихся на один поглощённый тепловой нейтрон в материале топлива. Таким образом, выражение для k₀ в тепловом реакторе принимает вид $$k_0=\mu \phi \theta \eta \!,$$ которая называется формулой четырёх сомножителей.

Литература

• Климов А. Н. Ядерная физика и ядерные реакторы. М. Атомиздат, 1971.
• Левин В. Е. Ядерная физика и ядерные реакторы. 4-е изд. — М.: Атомиздат, 1979.
• Петунин В. П. Теплоэнергетика ядерных установок М.: Атомиздат, 1960.