Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

В математике, линейное дифференциальное уравнение имеет вид $$~Ly = f$$ где, дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция (может буть функцией от времени $y=y(t)$, и правая часть f — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме $$~L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y$$

Уравнения с переменными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид $$~p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x)$$

Пример

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами $$~x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0$$

Уравнение первого порядка

{{Панель|{{{1}}}|#ffffaa|right|Пример|{{{2}}} }} даёт:

Пример
Решение уравнения $$~y'\left(x\right)+3\left(y\right)=2$$ с начальными условиями $$~y\left(0\right)=2$$ Имеем решение в общем виде $$~y=e^{-3x}\left(\int 2 e^{3x}\, dx + \kappa\right)$$ Решение неопределённого интеграла $$~y=e^{-3x}\left(2/3 e^{3x} + \kappa\right)$$ Можно упростить до $$~y=2/3 + \kappa e^{-3x}$$ где $\kappa =$ 4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Линейное дифференциальное уравнение I-го порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид $$~Dy(x) + f(x) y(x) = g(x)$$

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель $$~e^{\int f(x)\,dx}$$

откуда $$Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},$$

что упрощается по правилу дифференцирования произведения функций: $$D (y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}$$

что после интегрирования дает $$y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c ~,$$ $$y(x) = {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}} ~.$$

Другими словами, решения неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка: $$y'(x) + f(x) y(x) = g(x),$$

с коэффициентами. которые могут зависеть или не зависеть от x, есть: $$y=e^{-a(x)}\left(\int g(x) e^{a(x)}\, dx + \kappa\right)$$

где $\kappa$ - постоянная интегрирования и $$a(x)=\int{f(x)\,dx}.$$

Пример

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами: $$\frac{dy}{dx} + b y = 1.$$

В данном случае p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, его решение: $$y(x) = e^{-bx} \left( e^{bx}/b+ C \right) = 1/b + C e^{-bx} .$$