Матрица Якоби

Матрица Якоби описывает поведение первого порядка системы функций в точке.

Определение

Пусть задана система функций $u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, 2, \ldots, m$, имеющих в некоторой точке $x$ все частные производные первого порядка. Матрица $J$, составленная из частных производных этих функций в точке $x$, называется матрицей Якоби данной системы функций. $$J(x) = \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ {\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix}$$

Связанные определения

Если $m = n$, то определитель $|J|$ матрицы Якоби называется определителем Якоби, или якобианом, системы функций $u_1, \ldots, u_n$.