Метод Остроградского

Метод Остроградского - метод выделения рациональной части неопределенного интеграла $\int {P(x) \over Q(x)}\, dx$, где Q — многочлен, имеющий кратные корни, а P(x) — многочлен степени m ≤ n.

Если Р(x):Q(x) представляет собой правильную несократимую дробь и знаменатель Q(x) разлагается на простые множители, то есть Q(x)= (x-a)^k...(x²+px+q)^m, то интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей следующих двух видов: $\frac {A_1}{x-a} +\frac {A_2}{(x-a)^2} +... \frac {A_k}{(x-a)^k} ;\quad \frac {M_1 x+N_1}{x^2+px+q}+ ... +\frac {M_m x+N_m}{(x^2+px+q)^m}$ , где A₁,A₂,... A_k, M₁,M₂,... M_m, N₁, N₂,..., N_m — некоторые постоянные коэффициенты. Если k (или m) больше единицы, то интегралы всех дробей первого вида (кроме интеграла от дроби $\frac {A_1}{x-a}$ ) находятся по формуле: $\int \frac {A}{(x-a)^k}\, dx= -\frac {A}{k-1}\cdot \frac {1}{(x-a)^{k-1}} + C$,а интегралы всех дробей второго вида представляются в следующей форме: $\int \frac {Mx+N}{(x^2 +px+q)^m}\, dx= \frac {R(x)}{(x^2 +px+q)^{m-1}} + \lambda \int \frac {dx}{x^2+px+q}$.

После объединения (суммирования) всех этих результатов получим равенство вида: $\int \frac {P(x)}{Q(x)}\, dx = \frac {P_1 (x)}{Q_1 (x)} +\int \frac {P_2 (x)}{Q_2 (x)}\, dx$ , где рациональная часть интеграла P₁ (x) : Q₁ (x) получается путем сложения выведенных выше рациональных частей и представляет собой правильную дробь со знаменателем Q₁(x)=(x-a)^k-1...(x²+px+q)^m-1, не имеющим кратных множителей (корней), то есть этот знаменатель Q₂(x) содержит все те же множители (корни), что и знаменатель Q(x) первоначальной дроби, но уже только в первой степени.

Очевидно, Q(x)=Q₁(x)·Q₂(x).

Остроградский нашел метод выделения рациональной части P₁(x):Q₁(x) интегралов от правильных рациональных дробей чисто алгебраическим путем, не пользуясь методами интегрального исчисления.

Прежде всего находим $Q_l$ как общий наибольший делитель функции Q(x) и её производной $Q' (x)$ (например, с помощью алгоритма Евклида); определив Q_l(x), найдем Q₂(x)=Q(x): Q₁(х). После этого в равенстве (формуле) Остроградского остается определить два многочлена P₁(x) и Р₂(х). Так как степени искомых многочленов P₁(x) и Р₂(х) соответственно ниже степеней найденных уже многочленов Q_l(x) и Q₂(x), то мы их в равенство Остроградского запишем с неопределенными коэффициентами, а затем, продифференцировав обе части этого равенства, получим следующее тождество: $\frac {P(x)}{Q(x)} = \Big ( \frac {P_1 (x)}{Q_1 (x)} \Big )' + \frac {P_2 (x)}{Q_2 (x)}$.

После приведения к общему знаменателю, приравняв друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях левой и правой частей этого тождества, получим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов искомых многочленов P₁(x) и Р₂(х). Решая эту систему, найдем неизвестные коэффициенты (а значит, и сами многочлены).

Теперь для получения интеграла от первоначально заданной дроби Р(x):Q(х) остаётся проинтегрировать дробь P₂(x):Q₂(x), которая выражается уже только через трансцендентные функции (логарифмы и арктангенсы).

Итак, в равенстве (формуле) Остроградского имеем: P(x):Q(x), P₁(x):Q₁(x) и P₂(x):Q₂(x) - правильные рациональные дроби, Q₁(x) - общий наибольший делитель Q(x) и Q'(x), а Q₂(x)=Q(x):Q₁(x). P₁(x) и P₂(x) - многочлены, находимые методом неопределенных коэффициентов.