Окружность

Окружность и её центр

Окру́жность — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой её центром.

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом окружности.
• Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
• Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
• Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
• Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
• Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей.
• Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре.
• Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
• Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Свойства

• Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
• Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
• Касательная к окружности всегда перпендикулярна ее диаметру, один из концов которого является точкой касания.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
• Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
• Длину окружности радиуса $R$ можно вычислить по формуле $C= 2\pi R$.
• Длина дуги окружности радиуса $R$, образованной центральным углом $\phi$, измеренным в радианах, можно вычислить по формуле $L= R \phi$.
• Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
• Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
• Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
• Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее.
• Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
• Произведение отрезка секущей от выбранной точки до ближней точки пересечения на отрезок от выбранной точки до дальней точки пересечения постоянно для данной точки и равно квадрату касательной проведенной из этой точки.
• Произведение отрезков разбиения для хорд проходящих через данную точку постоянно.
• Окружность является простой плоской кривой второго порядка.

Уравнения

Декартовы координаты

Окружность с центральной точкой $M = \left(x_M, y_M \right)$ и радиусом $r$ описывается следующим уравнением: $$\left( x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M \right)^2 = r^2$$ если $M$ есть начало координат, то уравнение принимает вид: $$x^2 + y^2 = r^2.\,$$ Через три точки на плоскости $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ , не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность, координаты центра которой определяются формулами: $$x_M=-\frac 12 \frac{y_1(x_2^2+y_2^2-x_3^2-y_3^2)+y_2(x_3^2+y_3^2-x_1^2-y_1^2)+y_3(x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2)}{x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)}$$ $$y_M=\frac 12 \frac{x_1(x_2^2+y_2^2-x_3^2-y_3^2)+x_2(x_3^2+y_3^2-x_1^2-y_1^2)+x_3(x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2)}{x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)}$$

Полярные координаты

Если полярные координаты центра окружности $M=(r,\alpha)$, то окружность радиуса $r$ описывается уравнением: $$\rho(\varphi)=2r\cos (\varphi-\alpha),$$ $0\leq\varphi$ если $M$ есть начало координат, то уравнение будет иметь вид: $$\rho=r.$$

Комплексная плоскость

На комплексной плоскости окружность задается формулой: $$|z - z_0| = r\,$$ или в параметрическом виде $$z_0 + r e^{it},\ t\in\R.$$

Как график

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций: $$y = y_M \pm \sqrt{r^2 - (x - x_M )^2}.$$

если $y_M = x_M=0$, то функции принимают вид: $$y = \pm \sqrt{r^2 - x^2 }.$$

Параметрическое представление

Другую возможность описать окружность с помощью декартовых координат даёт параметрическое представление: $$x = x_M + r \cos \varphi$$ $$y = y_M + r \sin \varphi$$

здесь координаты $x$ и $y$ выражаются через параметр $\varphi$, принимающий все значения, удовлетворяющие неравенству $0 \le \varphi < 2 \pi$.

См. также

• Вписанная окружность
• Описанная окружность
• Окружность Аполлония
• Единичная окружность