Парадокс лестницы

Описание

Парадокс лестницы (другое название - парадокс амбара и жерди) - это мысленный эксперимент, иллюстрирующий противоречивость некоторых положений специальной теории относительности. Представим себе лестницу, которую вносят в гараж в переднюю дверь и сразу же выносят через заднюю дверь. Длина лестницы на несколько метров больше, чем длина гаража, поэтому ее нельзя хранить в закрытом гараже. Допустим теперь, что лестница движется с околосветовой скоростью по той же траектории, по которой ее вносят в гараж. За счет лоренцова сжатия длина лестницы относительно гаража должна уменьшиться, поэтому при соответствующей скорости лестница может полностью уместиться в гараже. В этот момент обе двери гаража можно "быстро" закрыть (чтобы лестница уместилась в закрытом гараже), а затем открыть (чтобы лестница не ударилась в заднюю дверь гаража). С другой стороны, если мы рассматриваем эту ситуацию из системы отсчета лестницы, то длина лестницы остается прежней, а гараж, наоборот, сжимается по длине. Следовательно, и в этой ситуации лестница не может полностью уместиться в закрытом гараже. Поскольку обе системы отсчета равноправны, то получился парадокс.

Варианты

Парадокс релятивистских поездов. Представим себе одноколейный железнодорожный путь, на котором стоит станция с двухколейным путем, обходящим с двух сторон платформу. По этому пути движутся навстречу друг другу два поезда, которые могут разойтись только на станции. Допустим, что скорость поездов одинакова и они одновременно подходят к станции с разных сторон. Допустим также, что оба поезда не останавливаются на станции, а следуют мимо, не сбавляя скорости. Если длина обоих поездов меньше длины двухколейного пути (и, тем более, платформы), то их расхождение не представляет проблемы, но если их длина больше длины двухколейного пути, то они врежутся в хвосты друг друга. А теперь допустим, что поезда движутся с околосветовой скоростью. При соответствующей скорости, даже если длина обоих поездов в состоянии покоя больше длины двухколейного пути, в движении их длина окажется меньше длины двухколейного пути за счет лоренцова сжатия, что позволяет им разойтись без аварии. С другой стороны, если рассматривать эту ситуацию из системы отсчета поездов, то их длина остается такой же, как и в состоянии покоя, а длина двухколейного пути, наоборот, сокращается. Следовательно, поезда не могут разойтись в любом случае - ни на малой скорости, ни на околосветовой скорости.

Парадокс решётки. Представим себе лежащую горизонтально решетку из паралельных прутьев, а также шар, движущийся в направлении, параллельном плоскости решетки и перпендикулярном прутьям. Диаметр шара больше расстояния между прутьями, поэтому если он упадет на решетку, то отскочит от нее. Допустим, что шар движется с околосветовой скоростью. При соответствующей скорости диаметр шара (тот, что совпадает с направлением движения шара и перпендикулярен прутьям) за счет лоренцова сжатия окажется меньше расстояния между прутьями решетки, поэтому если точно рассчитать момент, в который шар "выстреливается" в решетку, то он проскочит сквозь нее, не задев прутья. С другой стороны, если рассматривать эту ситуацию из системы отсчета шара, то его диаметр останется прежним, а расстояние между прутьями решетки, наоборот, сократится. Следовательно, шар в любом случае отскочит от решетки - как на малой скорости движения, так и на околосветовой скорости.

Предлагавшиеся решения

Сначала рассмотрим решение для релятивистских поездов. Дело в том, что этот парадокс мнимый, поскольку в нем неявно предполагается, что в системе отсчет одного из поездов сокращается длина только двухколейного пути, а длина второго поезда остается равной длине первого поезда (в котором находится наблюдатель). Между тем, поскольку второй поезд движется навстречу первому, то его длина сокращается даже больше, чем длина двухколейного пути. Поэтому, даже если первый поезд не освободит еще одноколейный путь, второй поезд не дойдет еще до развилки и не столкнется с хвостом первого поезда. И наоборот, даже если первый поезд уже достигнет конца двухколейного пути (притом, что его хвост будет еще находиться на одноколейном пути), он не врежется в хвост второго поезда, поскольку тот уже будет полностью на своей ветке двухколейного пути. Это - одно из проявлений эффекта относительности одновременности событий в разных инерциальных системах отсчета, предсказываемого специальной теорией относительности. Событие (достижение поездами концов одноколейного пути), одновременное в одной системе отсчета (платформы станции), оказывается неодновременным в другой системе отсчета (одного из поездов). Таким образом, поезда, длина которых больше длины двухколейного пути, не расходятся только на малых скоростях движения, а на околосветовых скоростях расходятся, независимо от того, в какой системе отсчета мы рассматриваем эту ситуацию...

Совсем по другому обстоит дело с парадоксом лестницы и парадоксом решетки, поскольку их нельзя решить с помощью эффекта относительности одновременности событий. Сегодня их решают, рассматривая лестницу и шар как неабсолютно жесткие предметы, которые могут изменять свою длину за счет упругой деформации. К примеру, если в парадоксе лестницы мы не откроем заднюю дверь гаража до того, как конец лестницы коснется ее, то после столкновения лестница какое-то время будет уменьшать свою длину, не разрушаясь, за счет конечности скорости передачи воздействия от переднего конца лестницы (столкнувшегося с задней дверью гаража) к заднему ее концу. Согласно расчетам, при определенном исходном соотношении длин гаража и лестницы, а также определенной скорости движения лестницы, последняя может полностью уместиться в гараже до того как разрушится. Причем это разрушение, в принципе, можно предотвратить, "вовремя" открыв заднюю дверь гаража... (Примерно также решается и парадокс решетки).

Тем не менее, это решение неприемлемо, поскольку не имеет никакого отношения к основному замыслу парадокса - умещению лестницы в гараже за счет одного лишь лоренцова сокращения ее длины, не используя упругую или какую-то другую физическую ее деформацию. К примеру, для сохранения основного замысла этого парадокса можно вообще исключить из рассмотрения двери гаража (оставить их на все время открытыми). При этом основной вопрос остается прежним - умещается или не умещается лестница в гараже при лоренцовом сокращении их длин? И какой вариант ответа на этот вопрос можно считать верным? А если оба варианта неприемлемы, то каковым должно быть решение данного парадокса притом, чтобы оно оставалось в рамках его основного замысла?

Так что парадокс лестницы и парадокс решетки остаются пока что настоящими парадоксами...