Свёртка тензора

Свёртка тензора — в тензорном исчислении, операция понижения валентности тензора на чётное число $2p$, ставящая в соответстие тензору $a$ валентности $\left( m \atop n \right)$, $m > p, n > p$, тензор $b$ валентности $\left( { m - p } \atop { n - p } \right)$ в соответствии с правилом:

$$\begin{equation*} a_{ \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_p i_{p+1} \dots i_n }^{ j_1 j_2 \dots j_{m-p} \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_p } \rightarrow \\ b_{ i_{p+1} i_{p+2} \dots i_n }^{ j_1 j_2 \dots j_{m-p} } = \\ \sum\limits_{ \alpha_1 } \sum\limits_{ \alpha_2 } \dots \sum\limits_{ \alpha_p }{ a_{ \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_p i_{p+1} \dots i_n }^{ j_1 j_2 \dots j_{m-p} \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_p } } = \\ a_{ \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_p i_{p+1} \dots i_n }^{ j_1 j_2 \dots j_{m-p} \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_p } , \end{equation*}$$

где:

• предполагается, что свёртка идёт по индексам $\alpha_1 \dots \alpha_p$, в данном примере для краткости записи, но не в общем случае, являющимся первыми ковариантными и последними контравариантными,
• последнее выражение записано с применением соглашения Эйнштейна, позволяющего опускать знаки суммы.

Как правило, сворачиваемый тензор является произведением тензоров, иначе говоря, сворачиваются два или более тензора. В этом случае, свёртка проводится по контравариантным индексам одного множителя и ковариантным другого.

Частные случаи

• Свёртка тензора валентности (1, 1) является скаляром,
• Свёртка тензора по паре индексов, по которым он кососимметричен, даст нулевой тензор,
• Свёртка вектора с (1,1)-тензором равносильна умножению линейного оператора на вектор: $A^i_j v^j = A \mathbf{v}$,
• Свёртка двух векторов с тензором ранга (0,2) $B_{ij} a^i b^j$ есть билинейная форма,
  • в частности, свёрка двух векторов с метрическим тензором $g_{ij} a^i b^j$ — их скалярное произведение,
  • а свёрка вектора с собою и с метрическим тензором $g_{ij} a^i a^j$ — квадратичная форма и квадрат нормы вектора $a$,
• Свёртка $A_j^j = \tr A$ с собой — след матрицы $A$.

Ссылки

• wiki:Свёртка тензора,
• Свёртка тензора.