Табличные интегралы

Табличный интеграл — простейший интеграл, в записи которого участвуют основные элементарные функции математического анализа.

Табличные интегралы рекомендуется использовать для вычисления любых типовых или сложных интегралов на любом этапе реализации алгоритма нахождения. Допускается следующая процедура: как только встречается табличный интеграл, его можно применять без каких-либо доказательств или вывода.

• $\int\,x^a \, dx \, =\, \frac{x^{a+1}}{a+1}\, + C \qquad (a\, \ne \, -1)$
  • $\int\,x \, dx \, =\, x\, + \, C$
• $\int \, \frac{dx}{x} \, = \, \ln|x|\, + \, C$
• $\int \, a^x \, dx \, = \, \frac{a^x}{\ln a}\, + \, C$
• $\int \, e^x \, dx \, = \, e^x \, + \, C$
• $\int \, \sin x \, dx \, = \, - \cos x \, + \, C$
• $\int \, \sh x \, dx \, = \, \ch x \, + \, C$
• $\int \, \cos x \, dx \, = \, \sin x \, + \, C$
• $\int \, \ch x \, dx \, = \, \sh x \, + \, C$
• $\int \tg x \, dx \, =\, -\ln|\cos x|\, + \, C$
• $\int \ctg x \, dx \, =\, \ln|\sin x|\, + \, C$
• $\int \frac{dx}{\cos^2 x} \, = \,\tg x \, + \, C$
• $\int \frac{dx}{\ch^2 x} \, = \,\th x \, + \, C$
• $\int \frac{dx}{\sin^2 x} \, = \,-\ctg x \, + \, C$
• $\int \frac{dx}{\sh^2 x} \, = \,-\cth x \, + \, C$
• $\int \frac{dx}{\sin x}\, = \, \ln \left |\tg\frac {x}{2} \right | \, + C$
• $\int \frac{dx}{\sh x}\, = \, \ln \left |\th \frac {x}{2} \right | \, + C$
• $\int \frac{dx}{\cos x}\, = \, \ln \left |\tg \left( \frac {x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right | \, + C$
• $\int \frac{dx}{\ch x}\, = \, 2\arctg \left (\th \frac {x}{2} \right ) \, + C$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} \, =\,\arcsin \frac {x}{a}\, + \, C$
• $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}} \, =\,\ln \left |x + \sqrt{a^2+x^2} \right |\, + \, C$
• $\int \sqrt{a^2 - x^2}\, dx \, = \, \frac x2 \cdot \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\cdot \arcsin \frac {x}{a}\, + \, C$
• $\int \sqrt{x^2 \pm a^2}\, dx \, = \, \frac x2 \cdot \sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2}\cdot \ln \left | x+ \sqrt{x^2 \pm a^2} \right |\, + \, C$
• $\int \frac{dx}{a^2+x^2}\, = \, \frac 1a \cdot \arctg \frac {x}{a} \, + \, C$
• $\int \frac{dx}{a^2-x^2}\, = \, \frac {1}{2a} \cdot \ln \left | \frac{a+x}{a-x} \right |\, + \, C$
• $\int\!{dx \over {a^3\pm x^3}} = \frac{1}{6a^2}\left [2\sqrt{3}\,\arctg \frac{2x\mp a}{\sqrt{3}\, a} \pm \ln \left |\frac {(a\pm x)^3}{a^3 \pm x^3} \right | \right ] + C$
• $\int\!{dx \over {a^4 - x^4}} = \frac{1}{4a^3}\left [2\,\arctg\,\left (\frac{x}{a} \right ) + \ln \left |\frac {a+x}{a-x} \right | \right ] + C$

Литература

• Письменный Д.Т. Глава 7. Неопределенный интеграл // Конспект лекций по высшей математике. — 2009. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

• Колпаков А.Н. Справочник репетитора по математике. Список табличных интегралов