Традиция

Текст:Шафаревич. Математическая биография

Шафаревич. Математическая биография


биография


Автор:
Математический институт имени Стеклова











Предмет:
Игорь Шафаревич

Ссылки на статью в «Традиции»:

http://www.mi.ras.ru/~shafarev/biogr.html

Влияние И. Р. Шафаревича на отечественную и мировую математику огромно. Оно измеряется не только его личным вкладом в алгебру, теорию чисел и алгебраическую геометрию, но и тем магнетическим влиянием, которое он оказывал на молодежь в течение многих десятилетий своими университетскими лекциями, семинарами, книгами, неповторимым умением раскрыть талант. Каждый из его многочисленных учеников может вспомнить путь, пройденный рядом с Игорем Ростиславовичем, как счастливейший этап в своем творческом становлении.

Яркие математические способности Шафаревича проявились уже в школьные годы. Его родители Ростислав Степанович (выпускник МГУ, преподаватель теоретической механики) и Юлия Яковлевна (филолог по образованию) не могли нарадоваться успехам сына, окончившего в 1939 г. школу. Из семьи и сохранившихся ещë от деда книг приобрел любовь к русской литературе, сказкам, былинам. Немного позже — к истории. Следующим увлечением была математика. Учась в школе, сдавал экстерном экзамены на механико-математическом факультете МГУ, который окончил в 1940 г. С 1944 г., уже после окончания аспирантуры, И. Р. Шафаревич становится преподавателем МГУ, а с 1946 г., после защиты докторской диссертации, сотрудником Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Однако активная преподавательская деятельность в МГУ, уже в качестве профессора, не прерывалась вплоть до 1975 г., когда она была прекращена в связи с его общественной деятельностью. Шафаревич был вынужден перенести свой семинар в Стекловку, где он действует и поныне, неизменно привлекая большое число участников.

Собственно научные исследования И. Р. Шафаревича были начаты работой по нормированным топологическим кольцам (кандидатская диссертация), а затем на целое десятилетие областями его научных интересов стали теория Галуа и теория алгебраических чисел. к этому периоду относятся такие замечательные достижения, как решение обратной задачи теории Галуа (сначала для  p p -расширений локальных полей, а затем для полей алгебраических чисел и разрешимых групп Галуа) и решение проблемы Гильберта о нахождении общего закона взаимности. Каждый из этих результатов был доказан при помощи техники, основанной на привлечении тонких арифметических свойств полей. Так, эффективное построение полей с заданной разрешимой группой Галуа проходит по этапам, а согласованность результатов каждого этапа (первое и второе препятствия в сопутствующей задаче погружения) требует поистине филигранной отделки каждой детали конструкции. в свою очередь, общий закон взаимности, частные аспекты которого связаны с именами Гаусса, Якоби, Куммера, в интерпретации И. Р. Шафаревича базируется на аналогии между символом норменного вычета ( α , β p ) \bigl(\frac{\alpha, \beta}{\frak p}\bigr) в поле алгебраических чисел и вычетом абелева дифференциала α d β \alpha\,d \beta в точках римановой поверхности. Найденный им самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел явился в известной мере завершающим этапом в 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Эйлеру и Гауссу. Общий закон взаимности позволил более естественно построить теорию полей классов, как локальную, так и глобальную.

в начале 60-х годов И. Р. Шафаревич возвращается к изучению групп Галуа p p -расширений, изложив заманчивые идеи и новые результаты в обзорном докладе на Международном математическом конгрессе в Стокгольме.[1] в частности, им было сообщено об оценке r ⩽ d + ρ r \leq d + \rho , где ρ \rho  — число образующих группы единиц поля алгебраических чисел k k , d d  — минимальное число образующих, а  r r  — число соотношений группы Галуа G ( p ) G(p) максимального неразветвленного p p -расширения поля k k . И. Р. Шафаревич обратил внимание на то, что из этой оценки вытекает решение известной проблемы башни в теории полей классов, если число соотношений r = r ( G ) r = r(G) конечной p p -группы G G с необходимостью достаточно велико по сравнению с числом образующих d = d ( G ) d = d(G) при  d → ∞ d \to\infty . Вскоре им вместе с Е. С. Голодом было показано,[2] что в действительности r > [ ( d − 1 ) / 2 ] 2 r > [(d - 1)/2]^{2} . Это и дало решение проблемы башни почти пятидесятилетней давности. Полученное решение, а главное — техника его доказательства имеют много следствий в теории чисел и алгебре. Достаточно упомянуть доказательство существования полей алгебраических чисел, не вложимых в одноклассные, точные оценки роста дискриминанта числового поля в зависимости от его степени, отрицательное решение ряда проблем бернсайдовского типа в теории p p -групп и алгебр Ли. Статья [2] вызвала настолько острый резонанс, что её основной результат (вместе с немного измененным доказательством, дающим неравенство r > d 2 / 4 r >d^{2}/4 ) вошел почти сразу же в монографическую и учебную литературу.

Несколько ранее, в середине 50-х годов, И. Р. Шафаревич начинает заниматься алгебраической геометрией, более точно задачами, находящимися на стыке теории чисел и геометрии. Первые идеи были высказаны в докладе на 3-м Всесоюзном математическом съезде,[3] где указывалось на аналогию между задачей погружения в теории Галуа полей алгебраических чисел и задачей классификации эллиптических кривых, определенных над такими полями. Две основные гипотезы в этой области были доказаны в работах 1957 г.,[4],[5] что явилось одним из первых шагов в новом разделе алгебраической геометрии — теории главных однородных пространств. Построив локальную теорию главных однородных пространств, И. Р. Шафаревич обратился к глобальной ситуации. Введенное им ядро естественного гомоморфизма локализации, состоящее из локально тривиальных однородных пространств, в честь автора обозначается в мировой математической литературе русской буквой Ш. Его вычисление и, в частности, доказательство предполагаемой конечности являются одними из труднейших и интереснейших проблем теории диофантовых уравнений. Лишь в последние годы были получены первые примеры эллиптических кривых с конечной группой Ш. Наиболее сильные результаты здесь получены учеником И. Р. Шафаревича В. А. Колывагиным.

Большое влияние на исследования алгебраических поверхностей во всем мире оказала монография,[6] явившаяся результатом активной работы небольшого коллектива энтузиастов во главе с И. Р. Шафаревичем и долгое время служившая единственным систематическим изложением теории поверхностей, соединяя красоту классических геометрических методов итальянской школы с мощью новейших аналитических и топологических методов. Одним из ярких феноменов теории алгебраических поверхностей являются поверхности типа К3, для которых И. Р. Шафаревичем (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро) был доказан аналог знаменитой теоремы Торелли о римановых поверхностях, а в цикле работ конца 70-х — начала 80-х годов (совместно с А. Н. Рудаковым) исследованы поверхности типа К3 над полями конечной характеристики. Развитая здесь техника изучения векторных полей на алгебраических поверхностях в положительной характеристике имеет многочисленные применения.

Среди других исследований по алгебраической геометрии: изучение группы автоморфизмов аффинной плоскости, построение оснований теории бесконечномерных алгебраических многообразий, теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация.

В конце 80-х годов И. Р. Шафаревич обратил внимание на то, что остается совершенно открытым вопрос об описании рациональных отображений поверхностей типа К3, в то время как теорема Торелли дает полное описание самих поверхностей. Иначе говоря, вопрос стоит в выяснении того, как восстановить категорию поверхностей типа К3 из категории решеток периодов и морфизмов между ними. Более точно, рациональное отображение поверхностей определяет ортогональный морфизм (изогению) рациональных структур Ходжа, соответствующих трансцендентным циклам, и задача состоит в определении тех изогений, которые отвечают рациональным отображениям исходных поверхностей. Ранг соответствующих Q \mathbb{Q} -пространств может принимать значения от 2 до 21. Для случаев ранга 2 и 3 было показано (совместно с В. В. Никулиным), что отображения поверхностей описываются изогениями рациональных структур Ходжа.

Другая большая область интересов И. Р. Шафаревича — это теория алгебр, как алгебр Ли, так и, в последнее время, ассоциативных алгебр.

К середине 60-х годов в широких кругах математиков пробудился интерес к классификации Э. Картана простых транзитивных псевдогрупп преобразований. В МИАНе некоторое время (1964‒1966) функционировал семинар под руководством И. Р. Шафаревича, на котором обсуждались разные работы по псевдогруппам Ли. Отчасти результатом этой деятельности явились две работы,[7],[8] определившие на четверть века программу классификации простых конечномерных алгебр Ли над полями конечной характеристики. Эти работы цитируются практически в каждом исследовании, посвященном модулярным простым алгебрам Ли (более подробный обзор математических работ И. Р. Шафаревича, написанных до 1983 г., см. в УМН, 1984, Т. 39, № 1, C. 167‒174).

В последние годы внимание И. Р. Шафаревича было привлечено к изучению структуры многообразия неполупростых коммутативных алгебр. Наличие в этой задаче непрерывных параметров делает естественным использование методов алгебраической геометрии. Все коммутативные и ассоциативные законы умножения на данном n n -мерном векторном пространстве определяют алгебраическое многообразие. В работе [9] автор ограничивается рассмотрением первого нетривиального случая, когда изучаемые алгебры N N имеют класс нильпотентности 2 (то есть N 3 = 0 N^{3} = 0 ). Изучаются неприводимые компоненты в многообразии таких алгебр, найдены их размерности и особые точки. Оказывается, что компоненты определяются рангом r r квадрата N 2 N^{2} алгебры N N . Все компоненты можно разделить на два класса — устойчивые и неустойчивые. Если d d  — число образующих алгебры, то доказано, что компоненты, соответствующие значениям 2 < r ⩽ ( d − 1 ) ( d − 2 ) / 6 + 2 2 < r\leq (d - 1)(d - 2)/6 + 2 , являются устойчивыми, кроме, быть может, случая d = 5 d = 5 , r = 4 r = 4 , а компоненты с  r ⩾ ( d 2 − 1 ) / 3 r \geq (d^{2} - 1)/3 и  r = 1 , 2 r =1,2 неустойчивы. Так как всегда r ⩽ d ( d + 1 ) / 2 r \leq d(d + 1)/2 , то интервал возможных значений для  r r разделяется на три примерно равные части (асимптотически по d d ), причем часть меньших значений для  r r соответствует устойчивым компонентам, часть больших значений — неустойчивым, а для средней части ответ остается неизвестным. Каждая алгебра класса два определяет r r симметрических матриц, в терминах которых формулируется критерий устойчивости. Для  r = 3 r = 3 он тесно связан с известным в теории векторных расслоений на проективной плоскости условием Барта. Все эти конструкции и результаты являются первыми шагами в новой теории классификации коммутативных алгебр.

Помимо работ и личного общения, И. Р. Шафаревич оказывает большое влияние и своими монографиями и учебниками. Созданные на основе многократно читавшихся им курсов, они вошли в золотой фонд математики. Прозрачность и ясность изложения, обилие неформальных примеров и мотивировок (так обожаемых студентами), постепенный переход от простейших ситуаций к более сложным — характерные черты книг И. Р. Шафаревича.

Это в полной мере относится к обзорам,[10],[11],[12] написанным Шафаревичем для «Энциклопедии математических наук», начавшей выходить у нас в 80-е годы стараниями Р. В. Гамкрелидзе. И. Р. с самого начала принял активное участие в формировании общих принципов этого издания, по существу совпадающих с приведенными выше особенностями его книг. Редактируя выпуски по алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии, он оказал определяющее влияние на содержание и стиль вошедших в них обзоров. Написанный на едином дыхании обзор основных понятий алгебры [10] сразу же приобрел широкую известность и не только в математических кругах. Почти 80 выпусков этого издания, в появлении которого роль И. Р. Шафаревича весьма велика, дают панораму почти всей современной математики.

Труды Игоря ШафаревичаПравить

[13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23][24][25][26][27][28][29][30][31][32][33][34][35][36][37][38][39][40][41][42][43][44][45][46][47][48][49][50][51][52][53][54][55][56][57][58][59][60][61][62][63][64][65][66][67][68][69][70][71][72][73][74][75][76][77][78][79][80][81][82][83][84][85][86][87][88][89][90][91][92][93][94][95][96][97][98][99][100][101][102][103][104][105][106][107][108][109][110][111][112][113][114][115][116][117][118][119][120][121][122][123][124][125][126][127][128][129][130][131][132][133][134][135][136][137][138]

  1. ↑ Поля алгебраических чисел // Proc. Intern. Congr. Math. Stockholm 1962. Djursholm: Inst. Mittag-Lefler, 1963. P. 163‒176.
  2. ↑ а б О башне полей классов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. T. 28, № 2. C. 261‒272 (совместно с Е. С. Голодом).
  3. ↑ Теория Галуа и арифметика полей алгебраических чисел // Тр. 3-го Всесоюз. математического съезда. Москва, 1956. Т. 2. С. 8.
  4. ↑ О бирациональной эквивалентности эллиптических кривых // ДАН СССР. 1957. T. 114, № 2. C. 267‒270.
  5. ↑ Показатели эллиптических кривых // ДАН СССР. 1957. T. 111, № 4. C. 714‒716.
  6. ↑ Предисловие. Линейчатые поверхности. Поверхности с пучком эллиптических кривых // Алгебраические поверхности: Тр. МИАН CCCР. 1965. T. 75. C. 3‒11; 48‒74; 138‒154. Англ. пер.: Providence: Amer. Math. Soc., 1967. Нем.: Leipzig: Akad. Verlagsges., 1968.
  7. ↑ Псевдогруппы Картана и -алгебры Ли // ДАН СССР. 1966. T. 168, № 4. C. 740‒742 (совместно с А. И. Кострикиным).
  8. ↑ Градуированные алгебры Ли конечной характеристики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1969. T. 33, № 2. C. 251‒322 (совместно с А. И. Кострикиным).
  9. ↑ Деформации коммутативных алгебр класса 2 // Алгебра и анализ. 1990. T. 2, № 6. C. 178‒194.
  10. ↑ а б Основные понятия алгебры // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 11. Алгебра-1. 288 с. (Итоги науки и техники).
  11. ↑ Введение // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 23. Алгебраическая геометрия-1. С. 7‒19. (Итоги науки и техники).
  12. ↑ Алгебраические поверхности // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 35. Алгебраическая геометрия-2. С. 131‒271 (совместно с В. А. Исковских).
  13. ↑ О нормируемости топологических полей // ДАН СССР. 1943. T. 40, № 1. C. 149‒151.
  14. ↑ Об абсолютных группах Галуа относительно-абелевых расширений // Рефераты научно-исследовательских работ за 1943‒44 гг. М., Л.: Отд. физ.-мат. наук АН СССР, 1945.
  15. ↑ О -расширениях // Рефераты научно-исследовательских работ за 1945 г. М., Л.: Отд. физ.-мат. наук АН СССР, 1946.
  16. ↑ О группах Галуа -адических полей // ДАН СССР. 1946. T. 53, № 1. C. 15‒16.
  17. ↑ Исследования о конечных расширениях: Рез. докт. дис. // УМН. 1946. T. 2, № 2. C. 223‒226.
  18. ↑ О -расширениях // Мат. сб. Нов. сер. 1947. T. 20, № 2. C. 351‒363.
  19. ↑ Общий закон взаимности // УМН. 1948. T. 3, № 3. C. 165.
  20. ↑ Общий закон взаимности // ДАН СССР. 1949. T. 64, № 1. C. 25‒28.
  21. ↑ Общий закон взаимности // Мат. сб. Нов. сер. 1950. T. 26, № 1. C. 113‒146.
  22. ↑ Алгебраическая геометрия // БСЭ. M., 1950. T. 2. C. 62‒63.
  23. ↑ Новое доказательство теоремы Кронекера-Вебера // Тр. МИАН СССР. 1951. T. 38. C. 382‒387.
  24. ↑ Общий закон взаимности и его приложения в теории полей алгебраических чисел // Тр. I Конгр. венгерских математиков. 1950. Будапешт, 1952. C. 291‒298.
  25. ↑ Конференция по алгебре и теории чисел // УМН. 1952. T. 7. № 3. C. 151‒154.
  26. ↑ Комментарии к статье: «О числе решений сравнения степени три» // Вороной Г. Ф. Собр. соч. Киев: Изд-во АH УССР, 1953. T. 3. C. 205.
  27. ↑ Комментарии к статье: "Замечание о последней теореме Ферма относительно неразрешимости уравнения в целых числах , , при нечетном простом числе " // Вороной Г. Ф. Собр. соч. Киев: Изд-во АН УССР, 1953. T. 3. C. 247.
  28. ↑ О построении полей с заданной группой Галуа порядка // Изв. АH СССР. Сер. мат. 1954. T. 18. C. 261‒296.
  29. ↑ Об одной теореме существования в теории полей алгебраических чисел // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. T. 18. C. 327‒334.
  30. ↑ О задаче погружения полей // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. T. 18. C. 389‒418.
  31. ↑ Построение полей алгебраических чисел с заданной разрешимой группой Галуа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. T. 18. C. 525‒578.
  32. ↑ О расширениях полей алгебраических чисел, разрешимых в радикалах // ДАН СССР. 1954. T. 95, № 2. C. 227.
  33. ↑ О задаче погружения полей // ДАН СССР. 1954. T. 95, № 3. C. 459‒461.
  34. ↑ О решении уравнений высших степеней (метод Штурма). М.: Гостехтеориздат, 1954. 24 с. Нем. пер.: Berlin: Dtsch. Verl. Wiss., 1956.
  35. ↑ Предисловие // Зигель К. Л. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. М., Л.: Изд-во иностр. лит., 1954. C. 3‒4.
  36. ↑ 16-я Московская математическая олимпиада // УМН. 1954. T. 9, № 3. C. 257‒262 (совместно с Д. Е. Меньшовым, Е. А. Морозовой и В. М. Золотаревым).
  37. ↑ Группы гомологий нильпотентных алгебр // ДАН СССР. 1957. T. 115, № 6. C. 1066‒1069 (совместно с А. И. Кострикиным).
  38. ↑ Задача погружения для распадающихся расширений // ДАН СССР. 1958. T. 120, № 6. C. 1217‒1219.
  39. ↑ Дмитрий Константинович Фаддеев (К его 50-летию) // УМН. 1958. T. 13, № 1. 1958. C. 233‒236.
  40. ↑ Аналитические многообразия и алгебраическая геометрия (Обзорная статья) // УМН. 1958. T. 13, № 2. C. 233.
  41. ↑ Группы главных однородных алгебраических многообразий // ДАН СССР. 1959. T. 124, № 4. C. 42‒43.
  42. ↑ Задача погружения для локальных полей // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. T. 23, № 6. C. 823‒840 (совместно с С. П. Демушкиным).
  43. ↑ Впечатления от Международного математического конгресса в Эдинбурге // УМН. 1959. T. 14, № 2. C. 243‒246.
  44. ↑ Главные однородные пространства, определенные над полем функций // Тр. МИАН СССР. 1961. T. 64. C. 316‒346.
  45. ↑ Борис Николаевич Делоне (К его 70-летию) // УМН. 1961. T. 16, № 3. C. 239‒241.
  46. ↑ Памяти Франческо Севери // Вестн. АН СССР. 1962. T. 2. C. 99‒100.
  47. ↑ Contributii Sovetice la theoria lui Galois. Bucaresti: Acad. Rep. Populare Romine, 1962. № 3. Р. 3‒36; Р. 37‒93.
  48. ↑ Второе препятствие для задачи погружения полей алгебраических чисел // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1962. T. 26, № 6. C. 911‒924 (совместно с С. П. Демушкиным).
  49. ↑ Einige Anwendungen der Galoischen Theorie auf Diophantische Gleichungen // Ber. Dirichlet Tagung. Berlin, 1963. S. 81‒82.
  50. ↑ Расширения с заданными точками ветвления // Publ. Math. Inst. Haut. Etud. Sci. Paris, 1964. Vol. 18. P. 295‒319.
  51. ↑ Юрий Манин // Молодой коммунист. 1964. № 3. C. 61.
  52. ↑ Фундаментальные направления развития алгебраической топологии и алгебраической геометрии // УМН. 1964. T. 19, № 6. C. 75‒82 (совместно с С. П. Новиковым, И. И. Пятецким-Шапиро).
  53. ↑ Теория чисел. М.: Наука, 1964 (совместно с З. И. Боревичем). Нем. пер.: Basel; Stuttgart: Birkhauser Verlag, 1966. Англ.: New York; London: Acad. Press, 1966. Фр.: Paris: Gauthier-Villars, 1967. Япон.: Tokyo: Joshioka Shoten, 1971.
  54. ↑ Конференция по теории чисел. Обервольфах (ФРГ), 6‒12 сент. 1964 // Вестн. АН СССР. 1964. № 12. C. 63‒64.
  55. ↑ Лекции по высшей алгебре. М.: Изд-во МГУ, 1963. 38 c.
  56. ↑ Предисловие // Комплексные пространства. М.: Мир, 1965. C. 5‒10.
  57. ↑ Псевдогруппы Картана и -алгебры Ли: Тезисы // Тр. Междунар. конгр. математиков. Секц. 2. М.: Мир, 1966 (совместно с А. И. Кострикиным).
  58. ↑ Теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1966. T. 30, № 3. C. 671‒704 (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро).
  59. ↑ Теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация // Современные проблемы теории аналитических функций. Ереван, 1965. М.: Наука, 1966. C. 262‒264 (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро).
  60. ↑ Lectures on minimal models and birational transformations of two-dimensional schemes. Bombay: Tata Inst. Fund. Res., 1966. 175 p.
  61. ↑ Вторая летняя школа по топологии // УМН. 1966. T. 21, № 2. C. 257‒258 (совместно с А. А. Кирилловым).
  62. ↑ Uber das Klassenkorperturmproblem // Ber. Math. Forsch. Inst. Oberwolfach. 1966. H. 2. S. 265.
  63. ↑ On some infinitedimensional groups // Simp. Intern. geometria algebrica. Roma: Cremonese, 1967. P. 208‒212.
  64. ↑ Неприводимые представления простой трехмерной алгебры Ли над полями конечной характеристики // Мат. заметки. 1967. T. 2, № 5. C. 439‒454 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  65. ↑ О ранге эллиптических кривых // ДАН СССР. 1967. T. 175, № 4. C. 770‒773 (совместно с Дж. Т. Тэйтом).
  66. ↑ Алгебраическая геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1968. 250 с.
  67. ↑ Дзета-функция. М.: Изд-во МГУ, 1969. 148 с.
  68. ↑ Основы алгебраической геометрии // УМН. 1969. T. 24, № 6. C. 3‒184. Нем. пер.: Berlin: Friedrich Vieweg und Sohn, 1972. Венг.: Magyar Tud. Akad. mat. fiz. Tud. Oszt. 1974. Vol. 22. P. 79‒184; 1975, Vol. 22. P. 283‒360.
  69. ↑ Предисловие // Koch H. Galoissche Theorie der -Erweiterungen. Berlin: Dtsch. Verl. Wiss., 1970. S. 3‒4. (Math. Monogr. Bd. 1).
  70. ↑ Le theoreme de Torelli pour les surfaces algebriques de type K3 // Actes Congr. Intern. Math. Nice, 1970. Paris: Gauthier-Villars, 1971. Vol. 1. P. 413‒417.
  71. ↑ Теорема Торелли для алгебраических поверхностей типа K3 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1971. T. 35, № 3. C. 530‒572 (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро).
  72. ↑ Лекции по высшей алгебре. М.: Изд-во МГУ, 1971. 40 с.
  73. ↑ Галина Николаевна Тюрина (Некролог) // УМН. 1971. T. 26, № 1. C. 207‒211 (совместно с В. И. Арнольдом, И. М. Гельфандом, Ю. И. Маниным, Б. Г. Мойшезоном, С. П. Новиковым).
  74. ↑ Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1971. 567 с. Нем. пер.: Berlin: Dtsch. Verl. Wiss., 1972. Англ.: Grundlehren Math. Wiss. Bd. 213. Berlin; Heidelberg; New York, 1974. Румын.: Bucharesti: Stiint. encicl., 1976.
  75. ↑ Теория чисел: 2-е изд. М.: Наука, 1972. 495 с. (совместно с З. И. Боревичем).
  76. ↑ Арифметика поверхностей типа K3 // Тр. МИAH СССР. 1973. T. 132. C. 44‒54 (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро).
  77. ↑ О некоторых тенденциях развития математики // Jahrber. Akad. Wiss. Gottingen. 1973. S. 31‒36. Англ. пер.: Math. Intell. 1981. Vol. 3. P. 182‒184.
  78. ↑ Несепарабельные морфизмы алгебраических поверхностей // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1976. T. 40, № 6. C. 1269‒1307 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  79. ↑ Замечание к работе «Несепарабельные морфизмы алгебраических поверхностей» // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1977. T. 41, № 2. C. 476 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  80. ↑ Квазиэллиптические поверхности типа K3 // УМН. 1978. T. 33, № 1. C. 227‒228 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  81. ↑ Векторные поля на эллиптических поверхностях // УМН. 1978. T. 33, № 6. C. 231‒232 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  82. ↑ Суперсингулярные поверхности типа K3 над полями характеристики 2 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. T. 42, № 4. C. 848‒869 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  83. ↑ Поверхности типа K3 над полями конечной характеристики // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. M.: ВИНИТИ, 1981. T. 18. C. 115‒207 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  84. ↑ О вырождении поверхностей типа K3 над полями конечной характеристики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. T. 45, № 3. C. 646‒661 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  85. ↑ О вырождении поверхностей типа K3 // ДАН СССР. 1981. T. 259. C. 1050‒1052 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  86. ↑ О некоторых бесконечномерных группах. II // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. T. 45, № 1. C. 214‒226.
  87. ↑ Влияние высоты на вырождение алгебраических поверхностей типа K3 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1982. T. 46, № 1. C. 117‒134 (совместно с А. Н. Рудаковым, Т. Цинком).
  88. ↑ Геометрии и группы. М.: Наука, 1983 (совместно с В. В. Никулиным). Англ. пер.: Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1987. Япон.: Tokyo: Springer-Verlag, 1993.
  89. ↑ Zum 150 Geburtstag von Alfred Clebsch // Math. Ann. 1983. Bd. 266. S. 135‒140.
  90. ↑ Предисловие // Милн Дж. Этальные когомологии. М.: Мир, 1983. C. 5‒6.
  91. ↑ Арифметика алгебраических многообразий // Тр. МИAH СССР. 1984. T. 168. C. 72‒97 (совместно с А. Н. Паршиным).
  92. ↑ О вырождении поверхностей типа K3 // Тр. МИAH СССР. 1984. T. 166. C. 222‒234 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  93. ↑ Анри Пуанкаре. Мысли о науке (Рецензия) // Техника и наука. 1984. № 2. C. 42‒43.
  94. ↑ Теория чисел: 3-е изд. М.: Наука, 1985. 503 с. (совместно с З. И. Боревичем).
  95. ↑ Yuri Ivanovich Manin // Duke Math. J. 1987. Vol. 54. P. I‒II.
  96. ↑ Алгебраическая геометрия: 2-е изд. М.: Наука, 1988. Т. 1, 2.
  97. ↑ Collected mathematical papers /Ed. M. Artin, J. Tate. Berlin: Springer-Verlag, 1988. 784 p.
  98. ↑ Так сделайте невозможное (К 80-летию Л. С. Понтрягина) // Сов. Россия. 1989. 16 апр.
  99. ↑ О проблеме Люрота // Тр. МИAH CCCР. 1989. T. 183. C. 199‒204.
  100. ↑ О факторах одного убывающего центрального ряда // Мат. заметки. 1989. T. 45, № 3. C. 114‒118.
  101. ↑ Listening to Igor Rostislavovich Shafarevich (Interview with Smilka Zdravkovska) // Math. Intell. 1989. Vol. 11, № 2. P. 16‒28.
  102. ↑ Дмитрий Константинович Фаддеев (К годовщине смерти) // Алгебра и анализ. 1990. T. 2, № 6. C. 3‒9.
  103. ↑ «Остаюсь диссидентом…» // Вестн. АН СССР. 1990. № 11. С. 88‒100.
  104. ↑ Abelian and Nonabelian mathematics // Math. Intell. 1991. Vol. 13. P. 67‒75.
  105. ↑ Патриарх отечественной математики (Ред. название. В оригинале: Властитель Стекловки (К 100-летию со дня рождения И. М. Виноградова)) // Вестн. АН СССР. 1991. № 9. C. 96‒100.
  106. ↑ Letter to the editor // Notic. Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 39. P. 683.
  107. ↑ Foreword // Fesenko I. B., Vostokov S. V. Local fields and their extensions. A constructive approach. Providence: AMS, 1993. P. IX.
  108. ↑ Пьер Ферма и развитие теории чисел (К выходу русского издания теоретико-числовых трудов П. Ферма) // Вопр. ист. естествозн. и техн. 1993. № 4. С. 37‒40.
  109. ↑ Собрание сочинений: В 3 т. М.: Издательская и рекламно-информационная фирма «Феникс», 1994.
  110. ↑ Mathematical reasoning versus nature // Commen. Math. Univ. Sancti Pauli. 1994. Vol. 43, № 1. P. 109‒116.
  111. ↑ Николай Григорьевич Чеботарев // Nikolaj Grigor’evich Chebotarev. 1894‒1947. Proceedings of the international centennial Chebotarev conference «Algebra and analysis», Kazan, Russia, June 5‒11, 1994. Казань, издательство Казанского университета, 1994, сс. 4‒8.
  112. ↑ Математическое мышление и природа // Вопросы истории естествозн. Техн. 1996, № 1, 78‒84.
  113. ↑ Некоторые семейства абелевых поверхностей // Известия РАН, сер. матем. 60 (1996), № 5, 213‒223.
  114. ↑ Семейства приводимых алгебраических многообразий, Мат. заметки, 60, № 6, 946‒949 (1996).
  115. ↑ On the arithmetic of singular K3-surfaces // Algebra and analysis. Proceedings of the international centennial Chebotarev conference, Kazan, Russia, June 5‒11, 1994. Berlin: Walter de Gruyter. 103‒108 (1996).
  116. ↑ Валентин Евгеньевич Воскресенский (к его семидесятилетию) // Усп. матем. наук 52(1997), № 6, 201‒202 (совместно с Исковских В. А., Клячко А. А., Кострикиным А. И., Кунявским Б. Е., Паршиным А. Н., Степановым С. А.).
  117. ↑ Юрий Иванович Манин (к его шестидесятилетию) // Усп. матем. наук 52(1997), № 4, 233‒242 (совместно с Дринфельдом В. Г., Исковских В. А., Кострикиным А. И., Тюриным А. Н.).
  118. ↑ Classification, fundamental groups and universal covering spaces of algebraic varieties, Proceedings of the 4th international congress of geometry, Thюessaloniki, Greece, May 26-June 1, 1996. Athens: Aristotle University of Thessaloniki. 46‒53 (1997).
  119. ↑ Сергей Михайлович Воронин (11 марта 1946 — 18 октября 1997, некролог) // Усп. матем. наук 53(1998), № 4, 125‒128 (совместно с Архиповым Г. И., Благодатских В. И., Болибрухом А. А., Чубариковым В. Н., Фоменко А. Т., Исковских В. А., Карацубой А. А., Прохоровым Ю. В.).
  120. ↑ On some arithmetic properties of algebraic varieties, Proceedings of the second Asian mathematical conference 1995, Nakhon Ratchasima, Thailand, October 17‒20, 1995. Singapore: World Scientific. 231‒241 (1998). ISBN 981-02-3225-X
  121. ↑ Selected chapters from algebra. Teach. Math. 1, 1‒22 (1998).
  122. ↑ Василий Алексеевич Исковских (к шестидесятилетию) // Усп. матем. наук 54(1999), № 4, 183‒187 (совместно с Кострикиным А. И., Куликовым В. С., Маниным Ю. И., Никулиным В. В., Паршиным А. Н., Прохоровым Ю. Г., Пухликовым А. В., Ридом М., Тюриным А. Н., Шокуровым В. В.).
  123. ↑ Selected chapters from algebra. Teach. Math. 2:1, 1‒30 (1999).
  124. ↑ Избранные главы алгебры: Учеб. пособие для школьников. — М.: Журн. «Мат. образование», 2000. — 377 с.
  125. ↑ Основные понятия алгебры. — 2-е изд., испр. и доп. — М., Ижевск: РХД, 2001. — 347 с.
  126. ↑ Из истории естественно-научного мировоззрения // Историко-математические исследования, вып. 6(41), 2001, 11‒33.
  127. ↑ Андрей Иванович Лапин // Вопросы истории естествозн. Техн. 2001, № 2, 127‒128.
  128. ↑ Воспоминания о В. А. Рохлине // Труды Санкт-Петербургского математического общества, том VII (2001). Англ. Пер. AMS. Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc. 203, 235‒238 (2001).
  129. ↑ Алексей Иванович Кострикин (некролог) // Усп. матем. наук 56(2001), № 3, 143‒145. (совместно с Винбергом Э. Б., Голодом Е. С., Зельмановым Е. C., Исковских В. А., Латышевым В. Н., Маниным Ю. И., Михалевым А. В., Паршиным А. Н., Шмелькиным А. Л.).
  130. ↑ Алексей Иванович Кострикин (некролог) // Усп. матем. наук 56(2001), № 3, 143‒145. (совместно с Винбергом Э. Б., Голодом Е. С., Зельмановым Е. C., Исковских В. А., Латышевым В. Н., Маниным Ю. И., Михалевым А. В., Паршиным А. Н., Шмелькиным А. Л.).
  131. ↑ Degeneration of semisimple algebras // Commun. Algebra 29, № 9, 3943‒3960 (2001).
  132. ↑ Discourses on algebra. Transl. from the Russian by William B. Everett. Universitext. Berlin: Springer, 276 p. (2002).
  133. ↑ Isabella Grigoryevna Bashmakova on the eightieth anniversary of her birth, Hist. Math. 29, № 4, 370‒382 (2002) (совместно с Демидовым С. С., Паршиным А. Н., Петровой С. С., Смирновой Г. С., Тихомировым В. М., Вандулакисом Я. М.).
  134. ↑ Aleksey Nikolaevich Parshin // Algebraic number theory and algebraic geometry. Papers dedicated to A. N. Parshin on the occasion of his sixtieth birthday. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). Contemp. Math. 300 (2002), vii-viii.
  135. ↑ Геннадий Владимирович Белый // Усп. матем. наук 57(2002), № 5, 139‒140 (совместно с Богомоловым Ф. А., Дубровиным Н. И., Исковских В. А., Куликовым В. С., Паршиным А. Н.).
  136. ↑ О группе // Алгебраическая геометрия. Методы, связи и применения. Сборник работ, посвященных памяти Андрея Николаевича Тюрина. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 246 (2004), 321‒327.
  137. ↑ Гармония в алгебре (К 100-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Д. К. Фаддеева) // Вестник РАН, 2007, № 7, 634‒639 (совместно с С. В. Востоковым).
  138. ↑ Основы алгебраической геометрии / Шафаревич И. Р. Изд. 3-е, испр. и доп. М.: Изд-во МЦНМО, 2007. 588 с.
Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Текст:Шафаревич._Математическая_биография&oldid=696791