Теорема Пифагора

210px

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Формулировки

Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).

Геометрическая формулировка.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через $c$, а длины катетов через $a$ и $b$: $$a^2 + b^2 = c^2$$

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора.

Для всякой тройки положительных чисел $a$, $b$ и $c$, такой, что $a^2 + b^2 = c^2$, существует прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

Вариации и обобщения

• Теорема косинусов
• В сферической геометрии, на единичной сфере, теорема Пифагора имеет вид

  $\cos c= \cos a \cos b.$

• В геометрии Лобачевского, на плоскости кривизны $-1$, теорема Пифагора имеет вид

  $\operatorname{ch}\, c= \operatorname{ch}\, a \,\operatorname{ch}\, b.$

• Теорема де Гуа: Для треугольной пирамиды $ABCD$, такой, что три угла при вершине $D$ ($\angle ADB$, $\angle BDC$ и $\angle CDA$) — прямые, верно следующее соотношение: квадрат площади грани, противолежащей вершине $D$, равен сумме квадратов площадей граней, прилежащих к этому углу.

  $S_{ABC}^2 = S_{ABD}^2 +S_{BDC}^2+S_{ADC}^2.$

$c^2=a^2+b \cdot d$

• В любом равнобедренном треугольнике верно следующее соотношение (см. рисунок внизу справа):

  $c^2=a^2+b \cdot d$

• Если вместо квадратов построить на катетах другие подобные фигуры, то верно следующее обобщение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма площадей подобных фигур, построенных на катетах, равна площади фигуры, построенной на гипотенузе. В частности:
  • Сумма площадей правильных треугольников, построенных на катетах, равна площади правильного треугольника, построенного на гипотенузе.
  • Сумма площадей полукругов, построенных на катетах (как на диаметре), равна площади полукруга, построенного на гипотенузе. Этот пример используется при доказательстве свойств фигур, ограниченных дугами двух окружностей и носящих имя гиппократовых луночек.

• В случае ортогональной системы векторов $\{v_k\}\frac{}{}$ имеет место равенство, также называемое теоремой Пифагора:

  $\sum_{k=1}^{n} \|v_k \|^2 = \left\|\sum_{k=1}^{n} v_k \right\|^2.$

  • Если $\{v_k\}\frac{}{}$ — это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида и означает, что длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его компонентов.
  • Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов носит название равенства Парсеваля.

История

Чу-пей 500–200 до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы.

Традиционно авторство теоремы приписывают греческому философу и математику Пифагору, хотя есть свидетельства того, что теорема была известна задолго до него в Вавилоне и Древнем Китае. Возможно, Пифагор и узнал эту теорему во время своего путешествия по Египту и Вавилону, а может быть, и в Милетской школе. Однако есть свидетельства, что доказательство теоремы впервые было приведено именно им, или , по крайней мере, в его школе. Существует исторический анекдот и легенда, что когда Пифагор окрыл свою теорему, он в благодарность богам принёс в жертву 100 быков, и с тех пор все скоты ненавидят математику. Открытие и понимание теоремы протекало в несколько этапов:

• Алгебраическое наблюдение существования Пифагоровых троек (прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами), то есть численная проверка того, что квадрат длины гипотенузы оказывается равным сумме квадратов длин катетов.

• Более глубокое понимание теоремы, связанное с понятием площади, и основанные на этом доказательства, например, доказательства путём перестановки.

• Доказательства, основанные на Евклидовой геометрии, в частности, доказательство методом подобия треугольников, а также доказательство Евклида.

Согласно комментариям Прокла к трудам Евклида, Пифагор (569—475 гг. до н. э.), использовал алгебраические методы для конструкции Пифагоровых троек. Комментарии Прокла датируются 410 и 485 годами до н. э. соответственно. Примечательно, что известный английский историк математики Хиф (Heath), полагает, что не существует убедительных доказательств в пользу Пифагора на протяжении 5 столетий после его жизни на предмет авторства теоремы. В то же время, такие известные авторы, как Плутарх и Цицерон, приписывают авторство теоремы именно Пифагору, в соответствии с этими источниками можно сделать вывод о том, что авторство Пифагора было широко известно и не подвергалось сомнению.

См. также

• Пифагорова тройка
• Пифагоровы штаны
• Гиппократовы луночки
• Великая теорема Ферма

Литература

На русском языке

• Скопец З. А. Геометрические миниатюры. М., 1990
• Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961
• Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
• Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1982
• В.Литцман, «Теорема Пифагора» М., 1960.
  • Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств материал взят из книги В.Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
• Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»
• История теоремы Пифагора
• О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва

На английском

• Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
• Cut-The-Knot, секция посвящённая теореме пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)