Топология

Топология — это раздел математики, объектом изучения которого являются топологические пространства, то есть множества с добавленной структурой, которая выражает свойство точек быть склеенными более или менее сильно. Например, любое метрическое пространство наделяется топологической структурой (топологическая структура, индуцированная метрикой).

Фундаментальным определением является определение непрерывного отображения — отображения между топологическими пространствами, сохраняющего топологическую структуру.

Таким образом, мир топологии — это категория топологических пространств, где стрелками являются непрерывные отображения.

Общая топология изучает топологические пространства как они есть, то есть не присовокупляя к ним дополнительных свойств.

Топологические пространства, локально похожие на $\mathbb R^n$ называются многообразиями, $n$ при этом называется размерностью многообразия. Многообразия размерности 1 — это окружность, прямая. Размерности 2 — сфера, тор, плоскость. Удобно представлять себе n-мерное многообразие как объект, как-то склееный из n-мерных кубиков. Например, двумерный тор представляет собой квадрат, у которого склеили противоположные стороны.

Дифференциальная топология изучает гладкие многообразия, то есть многообразия с некоторыми дополнительными свойствами, которые неформально заключаются в отсутствии углов и особенностей.

Гомотопическая топология смотрит на мир топологических пространств с точки зрения гомотопической эквивалентности, то есть не различает гомотопных топологических пространств.