Фильтр Чебышёва

Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта
Фильтр Чебышёва
Эллиптический фильтр
Фильтр Бесселя
Фильтр Гаусса
Фильтр Лежандра

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышёва I и II родов.

Фильтр Чебышёва I рода

АЧХ фильтра Чебышёва I рода четвёртого порядка с $\omega_0=1$ и $\varepsilon=1$

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра $n$-го порядка задаётся следующим выражением: $$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}$$

где $\varepsilon$ — показатель пульсаций, $\omega_0$ — частота среза, а $T_n(x)$ — многочлен Чебышёва $n \!$-го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) $\varepsilon$. В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального $\! G=1$ до минимального $G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$. На частоте среза $\omega_0$ коэффициент усиления имеет значение $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$, а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).

В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

Пульсации в дБ = $20 \log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}$.

Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют $\varepsilon = 1 \!$.

Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси $j\omega$ в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

Полюсы и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва I рода 8-го порядка на плоскости комплексной частоты ($s=\sigma+j\omega$) при $\varepsilon=0,\!1$ и $\omega_0=1$. Белые пятна — это полюсы фильтра. Они расположены на эллипсе с полуосью 0,3836… по действительной оси и 1,071… по мнимой оси. Полюсы передаточной функции фильтра расположены в левой полуплоскости. Чёрный цвет соответствует коэффициенту усиления менее 0,05, белый соответствует коэффициенту усиления более 20.

Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюсы $(\omega_{pm})$ фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту $s$, получим: $$1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0.$$

Представив $-js=\cos(\theta)$ и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим: $$1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0.$$

Разрешим последнее выражение относительно $\theta$ $$\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}.$$

Тогда полюсы фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения: $$s_{pm}=i\cos(\theta)=$$ $$=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right).$$

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме: $$s_{pm}^\pm=\pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+$$ $$+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m),$$

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$ и $$\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}.$$

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром $\theta_n$. Оно показывает, что полюсы лежат на эллипсе в $s$-плоскости, причём центр эллипса находится в точке $s=0$, полуось действительной оси имеет длину $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$, а полуось мнимой оси имеет длину $\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$.

Передаточная функция

Уравнение, выведенное выше, содержит полюсы, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра $G$. Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюсы должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением: $$H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}$$

где $s_{pm}^-$ — только те полюсы, которые имеют отрицательную действительную часть.

Групповая задержка

Амплитуда и групповая задержка фильтра Чебышёва I рода пятого порядка с $\varepsilon=0,\!5$. Видно, что в полосе пропускания и АЧХ и групповая задержка имеют пульсации, в полосе подавления этих пульсаций нет.

Групповая задержка определяется как производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах. $$\tau_g=\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))$$

Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка.

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного. $$\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}$$

Временны́е характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка.

Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Фильтр Чебышёва II рода

АЧХ фильтра Чебышёва II рода (фильтр низких частот) с $\omega_0=1$ и $\varepsilon=0,\!01$

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением: $$G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}$$

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до $$\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2}}}$$

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза $\omega_0$. Параметр $\varepsilon$ связан с затуханием в полосе подавления $\gamma$ в децибелах следующим выражением: $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}$$

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: $\varepsilon=0,\!6801$; для затухания в 10 дБ: $\varepsilon=0,\!3333$. Частота $f_C=\omega_C/(2\pi)$ является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ $f_H$ связана с $f_C$ следующим выражением: $$f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right).$$

Полюсы и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва II рода восьмого порядка на комплексной плоскости ($s=\sigma+j\omega$) с $\varepsilon=0,\!1$ и $\omega_0=1$. Белые пятна соответствуют полюсам, а чёрные — нулям. Показаны все 16 полюсов. 6 нулей (все нули второго порядка) показаны также, 2 находятся за пределами картинки (один на положительной мнимой оси, другой — на отрицательной мнимой оси). Полюсы передаточной функции фильтра — это полюсы, находящиеся в левой полуплоскости, нули передаточной функции — это нули модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва, только не второго, а первого порядка. Чёрный цвет соответствует коэффициенту усиления менее 0,01, белый — коэффициенту усиления более 3.

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов $(\omega_{pm})$ фильтра Чебышёва: $$1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0.$$

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода: $$\frac{1}{s_{pm}^\pm}=\pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+$$ $$+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m),$$

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$.

Нули $(\omega_{zm})$ фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения:: $$\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0.$$

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва: $$1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right),$$

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$.

Передаточная функция

Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комлексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.

Групповая задержка

Амплитудная характеристика и групповая задержка фильтра Чебышёва II рода пятого порядка с $\varepsilon=0,\!1$.

Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.

Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва II рода 10-го порядка.

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

Временные характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва II рода 5-го порядка.

Временные характеристики фильтра Чебышёва II рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Цифровые фильтры Чебышёва

Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка:

Z-преобразование каждого каскада: $$S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}.$$

Во временной области преобразование записывается как: $$y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[-2]$$

Коэффициенты $\alpha_i \!$ и $\beta_i \!$ подсчитываются из коэффициентов $a_i \!$ и $\! b_i$: $$K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}\right)$$ $$\mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n}$$ $$b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2}$$ $$a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i$$ $$\alpha_0 = K \cdot K$$ $$\alpha_1 = 2 \cdot K^2$$ $$\alpha_2 = K \cdot K$$
$$\beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i)$$ $$\beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2)$$ $$\beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i)$$
$$\beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime$$ $$\beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime$$

Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами с тем же числом коэффициентов:

По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышёва имее более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.

См. также

• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• Электронный фильтр
• Решётчатый фильтр
• БИХ-фильтр

Библиография

• В.А. Лукас. Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
• Б.Х. Кривицкий. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.
• Richard W. Daniels. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0070153086.
• Steven W. Smith. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0966017641.
• Britton C. Rorabaugh. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0070540047.
• B. Widrow, S.D. Stearns. Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0130040290.
• S. Haykin. Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0130901261.
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0898381630.
• J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0387075631.
• L.R. Rabiner, R.W. Schafer. Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0132136031.
• Richard J. Higgins. Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. — ISBN 013212887X.
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0132146355.
• L. R. Rabiner, B. Gold. Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0139141014.
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. — ISBN 002396815x.

Ссылки

• Лекция по цифровой фильтрации
• Фильтры нижних частот
• Расчёт рекурсивных фильтров
• Сравнение линейных фильтров (англ.)

Первоисточник этой статьи был признан «хорошей статьёй» русского раздела Википедии.