Формула Муавра

Формула Муавра для комплексных чисел

z = x + y i = x 2 + y 2 ( cos  Косинус  φ + i sin  Синус  φ ) z=x+y\,i=\sqrt{x^2+y^2}(\cos \varphi + i \sin \varphi)

утверждает, что:

z n = ( x 2 + y 2 ) n ( cos  Косинус  φ + i sin  Синус  φ ) n = ( x 2 + y 2 ) n ( cos  Косинус  n φ + i sin  Синус  n φ ) z^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n}(\cos \varphi + i \sin \varphi )^n =\sqrt{(x^2+y^2)^n}(\cos n\varphi + i \sin n\varphi )

для любого n Z n \in \mathbb{Z}

ДоказательствоПравить

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера e i φ = cos  Косинус  φ + i sin  Синус  φ   e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \ и тождества для экспонент ( e a ) b = e a b (e^{a})^{b} = e^{ab} , где b — целое число. Если b — нецелое число, то ( e a ) b (e^{a})^{b}  — многозначная функция переменной a a и e a b e^{ab} является лишь одним из её значений. Однако обычно формула Эйлера доказывается как следствие из формулы Муавра, стандартное доказательство опирается на простейшую геометрию. Угол φ \varphi - есть главное значение аргумента комплексного числа:

φ = arg ( z ) = arctg ( y x ) \varphi= \operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right )

и должно удовлетворять условию

π < arg ( z ) π -\pi < \operatorname{arg}(z) \le \pi

Последнее определяют по выражениям:

arg ( z ) = φ = arctg ( y x ) \operatorname{arg}(z)=\varphi=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right ) \quad - для z из 1 и 4 квадрантов

arg ( z ) = φ = arctg ( y x ) + π \operatorname{arg}(z)=\varphi=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right )+\pi \quad - для z из 2 квадранта

arg ( z ) = φ = arctg ( y x ) π \operatorname{arg}(z)=\varphi=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right )-\pi \quad - для z из 3 квадранта

Такая неоднозначность весьма неудобна при расчетах. В связи с этим российский математик Георгий Александров предложил в 2016 году однозначные формулы:

x + y i = x 2 + y 2 [ cos  Косинус  ( π 2 π 2 | x | x + arctg | y | x ) + i | y | y sin  Синус  ( π 2 π 2 | x | x + arctg | y | x ) ] x+y\,i=\sqrt{x^2+y^2}\bigg [\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\frac{|x|}{x} +\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\frac{|x|}{x} +\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg]

Формула Муавра:

( x + y i ) n = ( x 2 + y 2 ) n [ cos  Косинус  ( n π 2 n π 2 | x | x + n arctg | y | x ) + i | y | y sin  Синус  ( n π 2 n π 2 | x | x + n arctg | y | x ) ] (x+y\,i)^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n}\bigg [\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg]

где x , y , n x,y,n \, - любые действительные числа.

Из последнего следует важное свойство сопряженных комплексных чисел:

( x + y i ) n + ( x y i ) n = 2 ( x 2 + y 2 ) n cos  Косинус  ( n π 2 n π 2 | x | x + n arctg | y | x ) (x+y\,i)^n+(x-y\,i)^n=2\sqrt{(x^2+y^2)^n}\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )