Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая системв координат.

Точка в цилиндрических координатах.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой $z$), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка $P$ даётся как $(\rho,\;\varphi,\;z)$. В терминах прямоугольной системы координат:

• $\rho\geqslant 0$ — расстояние от $O$ до $P'$, ортогональной проекции точки $P$ на плоскость $XY$. Или то же самое, что расстояние от $P$ до оси $Z$.
• $0\leqslant\varphi\ < 360^\circ$ — угол между осью $X$ и отрезком $OP'$.
• $z$ равна аппликате точки $P$.

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения $(\rho,\;\varphi,\;z)$.

Некоторые математики используют $(r,\;\theta,\;z)$.

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось $Z$ взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение $x^2+y^2=c^2$, а в цилиндрических — очень простое уравнение $\rho=c$. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Переход к другим системам координат

2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым: $$\begin{cases} x=\rho\cos\varphi, \\ y=\rho\sin\varphi, \\ z=z. \end{cases}$$ Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим: $$\begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2}, \\ \varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right), \\ z=z. \end{cases}$$ Якобиан равен: $$J=\rho.$$

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид: $$g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad g^{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/\rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

• Квадрат дифференциала длины кривой

$$ds^2=d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2.$$

• Коэффициенты Ламэ имеют вид:

$$H_\rho=1,\quad H_\varphi=\rho,\quad H_z=1.$$

• Символы Кристоффеля $\{r,\;\varphi,\;z\}$:

$$\Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{r}.$$Остальные равны нулю.

См. также

• Углы Эйлера
• Цилиндрические шахматы