Четырёхугольник


Четырёхугольник - геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые. Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

∠A < ∠B+∠C+∠D, ∠B < ∠A+∠C+∠D,

∠C < ∠A+∠B+∠D, ∠D < ∠A+∠B+∠D.

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

a < b+c+d, b < a+c+d,

c < a+b+d, d < a+b+c.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

S = ( p a ) ( p b ) ( p c ) ( p d ) a b c d cos  Косинус  2 A + C 2 S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\,\cos ^2 {\frac{ A+C}{2}}}

S = ( p a ) ( p b ) ( p c ) ( p d ) a b c d cos  Косинус  2 B + D 2 S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\,\cos ^2 {\frac{ B+D}{2}}}

где p = 1 2 ( a + b + c + d ) p=\frac 12 (a+b+c+d)

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины. Диагонали выпуклого четырёхугольника d 1 d_1 и d 2 d_2 пересекаются, а невыпуклого – нет. Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

S = 1 2 d 1 d 2 sin  Синус  α S=\frac 12 d_1 \, d_2 \, \sin {\alpha}

где α \alpha - угол между диагоналями.

Максимальную площадь будет иметь четырехугольник, который вписан в окружность. Вычисляется либо по формуле Брахмагупты:

S m a x = ( p a ) ( p b ) ( p c ) ( p d ) S_{max}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}


либо по формуле Г.Александрова:

S m a x = 1 4 4 ( a d + b c ) 2 ( a 2 b 2 c 2 + d 2 ) 2 S_{max}= \frac 14 \, \sqrt{4 \left (ad+bc \right )^2 - \left (a^2-b^2-c^2+d^2 \right )^2}