Дифференциальные формы в электромагнетизме

Дифференциальные формы в электромагнетизме

Граф ДесшампаПравить

Уравнения Максвелла-Фарадея и Максвелла-Ампера с использованием дифференциальных форм в трёх измерениях, следуя Десшампу, можно изобразить в виде графа

 

где Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge обозначает внешнее дифференцирование формы по метрическому пространству, а Undefined control sequence \bold \bold{d}t — дифференцирование формы по времени. Знак минус обозначает, что дифференциал суммируется с обратным знаком.

Например, уравнения МаксвеллаАмпера (сформулированные впервые Хевисайдом) можно получить из правого графа Десшампа, если записать выражения для J и D. Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{H}\, - \, \partial_t \mathbf{D} = \mathbf{J} Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e

Для получения выражений, надо просуммировать (с учётом знака) все входящие стрелки (то-есть, соответствующие им дифференциалы) выбранной физической величины.

Дифференциальные формы в электродинамикеПравить

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля: F = F a b α β ( a b ) ( α β ) = F a b α β 1 2 ( α β β α ) ∣∣ ( a b b a ) . \vec{\vec{\textbf{F}}} = \vec{\vec{F_{ab\alpha\beta}}}\, (a \wedge b) \mid (\alpha \wedge \beta) = \vec{\vec{F_{ab\alpha\beta}}}\,\frac{1}{2}(\alpha\beta - \beta\alpha)\mid\mid(ab-ba).

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), аналогичная ситуация — лишь с другой группой — возникает в любой калибровочной теории. 3-форма тока имеет вид J = J a ε a b c d d x b d x c d x d . \textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d. или, что тоже самое (это выражение является обобщением теоремы Гаусса и теоремы Стокса): Undefined control sequence \bold (\bold d \wedge \Phi) \mid \Gamma = \mathrm{d}\, {*\textbf{F}} \mid \Gamma = {\textbf{F}} \mid \partial \Gamma

В этих обозначениях уравнения Максвелла в геометрических единицах могут быть очень компактно записаны как Undefined control sequence \bold \bold{d}\wedge {\textbf{F}} = \textbf{0} Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge ({*\textbf{F}}) = \textbf{J}

где * оператор Ходжа (он же звёздочка Ходжа или просто звёздочка). Подобным образом может быть описана геометрическая структура любой калибровочной теории.

2-форма F = Ψ * \mathbf{F} = \mathbf{\Psi} также называется 2-формой Максвелла.

Уравнение Максвелла-Ампера Undefined control sequence \bold \bold d \wedge \Psi = \gamma_e

Обобщённый граф уравнений Максвелла для дифференциальных форм в трёхмерном пространствеПравить

Запишем уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм для трёхмерного пространства. В дополнительной горизонтальной графе 2 показаны номера дифференциальных форм для трёхмерного пространства. Первая половина системы уравнений Максвелла называется уравнения Максвелла-Фарадея. При записи уравнений с использованием дифференциальных форм векторный оператор набла \nabla заменяется на операцию внешнего произведения Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge по пространству. Для 1-формы E, которая представлена векторной физической величиной, эта операция Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge есть rot \operatorname{rot} . Для 2-формы В та же самая операция Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge является div \operatorname{div} . Получается уравнение для 2-формы: Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{B} = 0 и уравнение для 3-формы: Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{B} = 0 Все физические величины записаны в единицах системы СИ. Из теорема де Рама|теоремы де Рама следует: 2-форма В локально может быть представлена через 1-форму A: Undefined control sequence \bold \bold{B} = \bold{d} \wedge \bold{A} Тогда: Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge ( \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{A} ) = 0 Используя снова теорему де Рама, мы определяем скалярный потенциал электрического поля 0-форму Undefined control sequence \bold \bold{\phi} . Приравниваем выражение в скобках в последней формуле Undefined control sequence \bold -{ \bold{d} \phi} и напряжённость электрического поля, следовательно есть: Undefined control sequence \bold \bold{E} = - \bold{d} \phi \, - \, \partial_t \mathbf{A} Представление полей в терминах векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала неоднозначно, так как потенциалы A и Undefined control sequence \bold \bold{\phi } могут отличаться на любую скалярную функцию Undefined control sequence \bold \bold{\psi} . Undefined control sequence \rarr \phi \rarr \phi + \partial_t \psi \, , Undefined control sequence \bold \, \bold{A} \rarr \bold{A} - \bold{d} \psi Такое условие называется условием Лоренца. Эти уравнения не зависят от природы электромагнитной среды.

Вторая половина так называемых уравнений Максвелла (впрочем сформулированных в таком виде Хевисайдом) называется уравнения Максвелла-Ампера. Вектор H заменяем на 1-форму H. Вектор D на 2-форму D. Тогда в нотации дифференциальных форм: Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{H}\, + \, \partial_t \mathbf{D} = \mathbf{J} и уравнение для 3-формы: Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e В правых частях этих выражений находятся плотности. J 2-форма плотности электрического тока или плотность магнитного потенциала. Undefined control sequence \bold \bold{\rho_e} 3-форма плотность заряда или плотность кванта электрического поля. Применим операцию внешнего произведения по пространственной физической величине к уравнению для 2-формы. Тогда с учётом Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{d} \wedge \bold{H} = 0 получим уравнение непрерывности: Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{J}\, + \, \partial_t \mathbf{\rho_e} = 0 Все выражения которые приведены выше можно представить в виде графа Десшампа (который приведён выше).

Обобщённый граф уравнений Максвелла для дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времениПравить

Запишем 1-форму для четырёхмерного времени-пространства. τ = c t \tau = c \, t Undefined control sequence \bold \bold d \tau \partial_t = {1 \over c} \, \partial_t \, c = 1 μ 0 ε 0 c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} Undefined control sequence \bold \Tau = \bold t + \bold l \wedge \bold d \tau

Запишем форму для угла-скорости. Undefined control sequence \bold \vec{\vec{I_E^T}} = \sum_{i=1}^3 \varepsilon_i \bold e_i Undefined control sequence \bold \Alpha = \omega + v \wedge \bold d \tau = \vec{\vec{I_E^{(2)T}}} + \vec{\vec{{I_E^T}_\wedge^\wedge}} \, \bold d \tau \, \bold e_\tau = {1 \over 2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 (\varepsilon_i \wedge \varepsilon_j )(\bold e_i \wedge \bold e_j) + \sum_{i=1}^3 ( \varepsilon_i \wedge \bold d \tau )\,( \bold e_i \wedge \bold e_\tau )

Запишем дифференциальный оператор Минковского для четырёхмерного пространства (пространство-время). Undefined control sequence \bold \bold d = \bold d_E + \bold d \tau \, \partial_\tau Undefined control sequence \bold \bold d_E = \sum_{i=1}^3 \bold d x_i \, \partial_{x_i} = \bold d x \,\partial_x + \,\bold d y \,\partial_y + \bold d z \,\partial_z .

Запишем 2-форму для магнитного поля Undefined control sequence \bold \Phi = B + E \wedge \bold d \tau Тогда уравнения Максвелла-Фарадея сведутся в одно выражение: Undefined control sequence \bold \bold d \wedge \Phi = 0

Запишем 3-форму источников для уравненений Максвелла-Ампера Undefined control sequence \bold \gamma = \rho - J \wedge \bold d \tau

Запишем 2-форму для электрического поля Undefined control sequence \bold \Psi = D - H \wedge \bold d \tau Уравнение Максвелла-Ампера Undefined control sequence \bold \bold d \wedge \Psi = \gamma_e

Запишем 1-форму Undefined control sequence \bold \bold \alpha \, для четырёхмерного потенциала электромагнитного поля (используем теорему де Рама, лемму Пуанкаре). Undefined control sequence \bold \Phi = \bold d \wedge \alpha = \bold d \wedge ( \alpha + \bold d \psi ) где Undefined control sequence \bold \bold \psi \, 0-форма или скалярная функция. Undefined control sequence \bold \alpha = A - \phi \bold d \tau

Приведём граф Десшампа для четырёхмерного пространства-времени. α d Φ d 0 \alpha \to^d \Phi \to^d 0 Ψ d γ d 0 \Psi \to^d \gamma \to^d 0

Запишем материальное уравнение для среды. Ψ = M | Φ \Psi = \vec{\vec{M}} \, | \, \Phi где M \vec{\vec{M}} --- двухэлементный тензор(diadics).

Магнитные источникиПравить

Магнитный источник состоит из четырёхмерной 2-формы магнитного тока J m J_m и четырёхмерной 3-формы плотности магнитного заряда ρ m \rho_m : Undefined control sequence \bold \gamma_m = \rho_m - J_m \wedge \bold d \tau Undefined control sequence \bold \bold d \wedge \gamma_m = 0 По теореме де Рама магнитный четыре ток можно представить через вторую форму: Undefined control sequence \bold \bold d \wedge \Phi_m = \gamma_m Это обобщение от: Undefined control sequence \bold \bold d \wedge \Phi = 0 При постоянных магнитных источниках φ \varphi не может быть выражена через 1-форму Undefined control sequence \bold \bold \alpha \, для четырёхмерного потенциала электромагнитного поля (используем теорему де Рама, лемму Пуанкаре): Undefined control sequence \bold \alpha = A - \phi \bold d \tau Undefined control sequence \bold \Phi \neq \bold d \wedge \alpha

В случае электрических и магнитных источников имеем: Undefined control sequence \bold \bold d \wedge \Psi = \gamma_e Undefined control sequence \bold \bold d \wedge \varphi = \gamma_m

Или что тоже самое: Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{E}\, = - \partial_\tau \mathbf{B} - \mathbf{J}_m Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{B} = \rho_m Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{H}\, = \partial_\tau \mathbf{D} - \mathbf{J}_e Undefined control sequence \bold \bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e Четыре 2-Формы и Четыре источники (3-формы) взаимно заменяемы (можно трансформировать одно в другое): Φ Ψ , γ e γ m \Phi \leftrightarrow \Psi \, , \, \gamma_e \leftrightarrow \gamma_m

При исчезающих электрических источниках ( γ e = 0 \gamma_e = 0 ) Ψ \Psi может быть выажена через магнитный четыре потенциал: Undefined control sequence \bold \Psi = \bold d \wedge \alpha_m

И соответственно: Undefined control sequence \bold \bold d \wedge \Psi = 0

В случае наличия электрических и магнитных источников: Поля Φ e , Ψ e \Phi_e \, , \, \Psi_e появляются из электрических источников γ e \gamma_e и определяются через электрический четыре потенциал α e \alpha_e . Поля Φ m , Ψ m \Phi_m \, , \, \Psi_m появляются из магнитных источников γ m \gamma_m и определяются через магнитный четыре потенциал α m \alpha_m .

Выражения для суперформПравить

F o r m d s o u r c e d 0 Form \to^d source \to^d 0 где: F o r m = ( Ψ Φ ) Form = \dbinom {\Psi} {\Phi} s o u r c e = ( s e s m ) = ( ( ρ e j e ) ( 0 γ m ) ) source = \dbinom {s_e} {s_m} = \dbinom {\dbinom {\rho_e} {j_e} } {\dbinom {0} {\gamma_m}} 0 = ( ( 0 0 ) ( 0 0 ) ) 0 = \dbinom {\dbinom {0} {0}} {\dbinom {0} {0}}

ИсторияПравить

В 1978 году Плотников Николай Александрович публикует созданную им Систему Физических Величин (СФВ)[1]. Она основана на системе единиц СИ. СФВ использует пространственно-временную систему координат и дополнительную ось фундаментальных физических постоянных /ф.ф.п./

В статье 1981 года Десшамп[2] помещает два графа (DAG) для электромагнитных дифференциальных форм и описание аппарата дифференциальных форм. Оба графа взаимосвязи дифференциальных форм Дешампа полностью содержится в Системе Физических Величин Плотникова Н. А. Теоремы Стокса и Гаусса, а так же операции с дифференциальными формами различного порядка так же описаны в публикации Плотникова Н. А. от 1978 года.

В 2004 году Ismo V. Lindell[3] публикует книгу с подробным описанием аппарата дифференциальных форм и его применения к теории электромагнитного поля. Эта работа — отличное и глубокое введение в современный язык теории электромагнитного поля. Книга Ismo V. Lindell содержит последние результаты автора по исследованию сред со сложными электромагнитными свойствами. Ismo V. Lindell значительно развил аппарат математического описания физических процессов электромагнитного поля.

ПримечанияПравить

  1. Плотников Н. А. Система физических величин. ВОИР и Вологодский Областной Совет ВОИР. Вологда. 1978., (ББК 22.3 с, УДК 53.081)
  2. Deschamps G. Electromagnetics and differential forms. IEEE Proceedings, Vol. 69, No. 6, pp. 676—687. 1981.
  3. Lindell I. V. Differential Forms in Electromagnetics. IEEE Press, Wiley Interscience, 2004. — ISBN 0-471-64801-9

ЛитератураПравить

См. такжеПравить