Момент импульса

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — скалярная величина.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент импульса в классической механике

Связь между импульсом $\scriptstyle{\mathbf p}$ и моментом $\scriptstyle{\mathbf L}$

Определение

Момент импульса $\mathbf L$ частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением ее радиус-вектора и импульса: $$~\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p},$$ где $~\mathbf r$ — радиус-вектор частицы относительно выбранного начала отсчёта, $~\mathbf p$ — импульс частицы.

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность. Так, для системы частиц выполняется выражение:

$\mathbf{L}_\Sigma = \sum\limits_i \mathbf{L}_i$.

Вычисление момента

Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам $~\mathbf r$ и $~\mathbf p$. Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на нее можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов. $$L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin \theta_{r,\;p},$$

где $~\theta_{r,\;p}$ — угол между $~\mathbf r$ и $~\mathbf p$, определяемый так, чтобы поворот от $~\mathbf r$ к $~\mathbf p$ производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.

Запишем $~\mathbf r$ в виде $~\mathbf{r} = \mathbf{r_{\parallel}}+\mathbf{r_{\perp}}$, где $~\mathbf{r_{\parallel}}$ — составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а $~\mathbf{r_{\perp}}$ — аналогично, перпендикулярная ему. $~\mathbf{r_{\perp}}$ является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора $~\mathbf p$, которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору $~\mathbf{p_{\parallel}}$ и перпендикулярную ему $~\mathbf{p_{\perp}}$. Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить еще два выражения для $~L$. $$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = (\mathbf{r_{\perp}}+\mathbf{r_{\parallel}})\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p} + \mathbf{r_{\parallel}}\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p}.$$ $$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = \mathbf{r}\times (\mathbf{p_{\perp}}+\mathbf{p_{\parallel}}) = \mathbf{r}\times\mathbf{p_{\perp}}.$$

Для систем, совершающих вращение вокруг одной из осей симметрии (вообще говоря, вокруг так называемых главных осей инерции), справедливо соотношение $$~\mathbf{L}= I \boldsymbol{\omega},$$ где $~I$ — момент инерции относительно оси вращения, $~\boldsymbol\omega$ — вектор угловой скорости.

В общем случае вектор момента связан с вектором угловой скорости линейным оператором момента инерции: $$\mathbf{L} = \hat I \boldsymbol{\omega}$$

Сохранение углового момента

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
↔ Обращение времени	Изотропность времени	…энтропии
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
○ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
× Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса

Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента): векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.

В замкнутых системах момент импульса постоянен. Производная момента импульса по времени есть момент силы: $$\tau = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},$$ Таким образом, требование системы быть «замкнутой», означает равенство нулю главного (суммарного) момента внешних сил: $$\mathbf{L}_{\mathrm{system}} = \mathrm{constant} \leftrightarrow \sum \tau_{\mathrm{ext}} = 0,$$ где $~\tau_{ext}$ — момент одной из сил, приложенных к системе частиц.

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол $~\delta \varphi$, радиус-вектор частицы с номером $~i$ изменятся на $~\delta \mathbf{r}_i = \delta \varphi \times \mathbf{r}_i$, а скорости — $~\delta \mathbf{v}_i = \delta \varphi \times \mathbf{v}_i$. Функция Лагранжа $~\mathcal L$ системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

$\delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)= 0.$

С учетом $\frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} = \mathbf p_i,\; \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} = \mathbf \dot p_i$, где $~\mathbf p_i$ — обобщенный импульс $~i$-той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде

$\dot \mathbf p_i \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf \dot r_i.$

Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:

$\delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot \mathbf p_i + \dot \mathbf r_i \times \mathbf p_i \right) = \delta \varphi \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0,$

где, $\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i$ — момент импульса системы. Ввиду произвольности $\delta \varphi$, из равенства $\delta \mathcal L = 0$ следует $~\frac{d \mathbf L}{dt} = 0$.

На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса ее орбитального движения: $$\mathbf{L}_{\mathrm{total}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{orbit}}.$$

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле, канонический импульс $~p$ не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса $~ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$ тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»: $$~ \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c},$$

где $~e$ — электрический заряд, $~c$ — скорость света, $~A$ — векторный потенциал. Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы $m$ в электромагнитном поле: $$H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\varphi,$$

где $~\varphi$ — скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется: $$K= \mathbf{r} \times \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right).$$

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента

В квантовой механике момент импульса квантуется, то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определенными значениями. Проекция на любую ось момента импульса частиц, обусловленного их пространственным движением, должна быть целым числом, умноженным на $\hbar$ ($h$ с чертой), определяемой, как постоянная Планка, поделенная на $2 \pi$. Эксперименты показывают, что большинство частиц имеют постоянный внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот спиновой момент импульса всегда кратен $\hbar/2$ . Например, электрон в состоянии покоя имеет момент импульса $\hbar/2$.

В классическом определении момент импульса зависит от 6 переменных $~r_x$, $~r_y$, $~r_z$, $~p_x$, $~p_y$, и $~p_z$. Переводя это на квантовомеханические определения, используя принцип неопределенности Гейзенберга, получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с любой точностью. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать — это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и его компоненты по осям.

Математически, момент импульса в квантовой механике определяется как количество движения — не количественно, а как оператор физической величины: $$\hat\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\hat\mathbf{p},$$

где $\mathbf{r}$ и $\hat\mathbf{p}$ — координатный и импульсный оператор соответственно. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как: $$\mathbf{L}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla),$$

где $\nabla$ — оператор набла. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства: $$[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0$$

и даже более важные подстановки с гамильтонианом частицы без заряда и спина: $$\left[L_i,\; H \right] = 0$$

Симметрия вращения

Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении: $$-\frac{1}{\hbar^2} \mathbf{L}^2 = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}$$

Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее: $$L^2 \mid l,\; m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) \mid l,\; m \rang$$ $$L_z \mid l,\; m \rang = \hbar m \mid l,\; m \rang,$$

где $$\lang \theta ,\; \varphi \mid l,\; m \rang = Y_{l,\;m}(\theta,\;\varphi)$$ — сферические гармоники.

Вычисление момента импульса

Если имеется материальная точка массой $~m$, двигающаяся со скоростью $~\mathbf{v}$ и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором $~\mathbf{r}$, то момент импульса вычисляется по формуле:

$~\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v},$

где $\times$ — знак векторного произведения.

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл: $$\vec L = \int\limits_V {\overrightarrow{dL}} = \int\limits_V {\vec r\times \vec v \, dm}.$$

Литература

• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. Том 1. М.: Мир, 1984. 302с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-ое изд. Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720c.
• Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975.