Интеграл Римана

Понятие

Рассмотрим вещественную функцию $~f(x)$, определённую на отрезке $~[a,b]$, то есть $x\in[a,b]$.

На отрезке $~[a,b]$ зададим разбиение \(~a = x_0

Положим $~\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\; i=1\dots n$.

Диаметром разбиения называется наибольшая из длин таких отрезков, то есть $~\Delta = \max\Delta x_i$.

На каждом отрезке разбиения отметим по точке $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$.

Интегральной суммой будет называться сумма площадей прямоугольников с основанием $~[x_{i-1}, x_i]$ и высотой $~f(\xi_i)$, то есть:
$\sum_{i=1}^n \Delta x_i f(\xi_i)$.

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю существует предел последовательности интегральных сумм, то функция $~f(x)$ называется интегрируемой по Риману, а предел — определённым интегралом Римана, и обозначается
$\int_a^b f(x)\,dx$

Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что он представляет из себя площадь криволинейной трапеции, то есть фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции и осями $~x=a$, $~x=b$.

Необходимое условие интегрируемости функций

Теорема. Для того, чтобы функция $~f(x)$, определённая на отрезке $~[a,b]$, была интегрируема на нём по Риману, необходимо, чтобы она была ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Предположим, что $~f(x)$ не ограничена на отрезке $~[a,b]$. Тогда для каждого разбиения найдётся хотя бы один отрезок $~[x_{k-1},x_k]$, на котором функция окажется неограниченной. Но тогда в интегральной сумме хотя бы одно слагаемое $~\Delta x_k f(\xi_k)$ будет произвольно большим, и тогда последовательность интегральных сумм сходящейся быть не может. Значит, функция не интегрируема, что противоречит предполагаемому.

Замечание

Не всякая ограниченная функция является интегрируемой.

Верхние и нижние интегральные суммы

Пусть $~m_i = \inf_{x\in[x_{i-1}, x_i]} f(x)$, то есть точная нижняя грань функции на отрезке, а $~M_i = \sup_{x\in[x_{i-1}, x_i]} f(x)$, то есть точная верхняя грань функции на отрезке.

Суммы $~s = \sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i$ и $~S = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i$ называются нижней и верхней интегральной суммой соответственно.

Свойства верхних и нижних сумм

1. Для любого фиксированного разбиения $~T$ и для любого $~\varepsilon>0$ промежуточные точки $~\xi_i$ на их отрезках можно выбрать таким образом, что интегральная сумма $~I$ будет удовлетворять неравенствам:
   $~ 0 \le S - I < \varepsilon$. Точки $~\xi_i$ можно выбрать и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам:
   $~ 0 \le I - s < \varepsilon$.
2. Если разбиение $~T'$ получено путём добавления новых точек к разбиению $~T$, то верхняя сумма $~S'$ разбиения $~T'$ не больше верхней суммы $~S$ разбиения $~T$, а нижняя сумма $~s'$ разбиения $~T'$ не меньше нижней суммы $~s$ разбиения $~T$. Т.е.:
   $~s \le s',\, S' \le S$.

Литература

1. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — М.: МЦНМО, 2002.
2. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть I — М.: Наука, 1982.