Информационная энтропия

Энтропи́я (информационная) — мера хаотичности информации, неопределённость появления какого-либо символа первичного алфавита. При отсутствии информационных потерь численно равна количеству информации на символ передаваемого сообщения.

Так, возьмём, например, последовательность символов, составляющих какое-либо предложение на русском языке. Каждый символ появляется с разной частотой, следовательно, неопределённость появления для некоторых символов больше, чем для других. Если же учесть, что некоторые сочетания символов встречаются очень редко, то неопределённость ещё более уменьшается (в этом случае говорят об энтропии n-ого порядка, см. Условная энтропия).

Концепции информации и энтропии имеют глубокие связи друг с другом, но, несмотря на это, разработка теорий в статистической механике и теории информации заняла много лет, чтобы сделать их соответствующими друг другу. Ср. тж. Термодинамическая энтропия

Формальные определения

Информационная энтропия для независимых случайных событий x с n возможными состояниями (от 1 до n) рассчитывается по формуле: $$H(x)=-\sum_{i=1}^np(i)\log_2 p(i)$$

Эта величина также называется средней энтропией сообщения. Величина $\log_2 {1 \over p(i)}$ называется частной энтропией, характеризующей только i-e состояние.

Таким образом, энтропия события x является суммой с противоположным знаком всех произведений относительных частот появления события i, умноженных на их же двоичные логарифмы (основание 2 выбрано только для удобства работы с информацией, представленной в двоичной форме). Это определение для дискретных случайных событий можно расширить для функции распределения вероятностей.

Шеннон вывел это определение энтропии из следующих предположений:

• мера должна быть непрерывной; т. е. изменение значения величины вероятности на малую величину должно вызывать малое результирующее изменение энтропии;
• в случае, когда все варианты (буквы в приведенном примере) равновероятны, увеличение количества вариантов (букв) должно всегда увеличивать полную энтропию;
• должна быть возможность сделать выбор (в нашем примере букв) в два шага, в которых энтропия конечного результата должна будет являтся суммой энтропий промежуточных результатов.

Шеннон показал, что любое определение энтропии, удовлетворяющее этим предположениям, должно быть в форме: $$-K\sum_{i=1}^np(i)\log_2 p(i)$$

где K — константа (и в действительности нужна только для выбора единиц измерения).

Шеннон определил, что измерение энтропии (H = − p₁ log₂ p₁ − … − p_n log₂ p_n), применяемое к источнику информации, может определить требования к минимальной пропускной способности канала, требуемой для надежной передачи информации в виде закодированных двоичных чисел. Для вывода формулы Шеннона необходимо вычислить математическое ожидания «количества информации», содержащегося в цифре из источника информации. Мера энтропии Шеннона выражает неуверенность реализации случайной переменной. Таким образом, энтропия является разницей между информацией, содержащейся в сообщении, и той частью информации, которая точно известна (или хорошо предсказуема) в сообщении. Примером этого является избыточность языка — имеются явные статистические закономерности в появлении букв, пар последовательных букв, троек и т.д. См. Цепи Маркова.

В общем случае b-арная энтропия (где b равно 2,3,... ) источника $\mathcal{S}$ = (S,P) с исходным алфавитом S = {a₁, …, a_n} и дискретным распределением вероятности P = {p₁, …, p_n} где p_i является вероятностью a_i (p_i = p(a_i)) определяется формулой: $$H_b(\mathcal{S}) = - \sum_{i=1}^n p_i \log_b p_i$$

Определение энтропии Шеннона очень связано с понятием термодинамической энтропии. Больцман и Гиббс проделали большую работу по статистической термодинамике, которая способствовала принятию слова «энтропия» в информационную теорию. Существует связь между термодинамической и информационной энтропией. Например, демон Максвелла также противопоставляет термодинамическую энтропию информации, и получение какого-либо количества информации равно потерянной энтропии.

Условная энтропия

Если следование символов алфавита не независимо (например, во французском языке после буквы «q» почти всегда следует «u», а после слова «передовик» в советских газетах обычно следовало слово «производства» или «труда»), количество информации, которую несёт последовательность таких символов (а следовательно и энтропия) очевидно меньше. Для учёта таких фактов используется условная энтропия.

Условной энтропией первого порядка (аналогично для Марковской модели первого порядка) называется энтропия для алфавита, где известны вероятности появления одной буквы после другой (т.е. вероятности двухбуквенных сочетаний): $$H_1(\mathcal{S}) = - \sum_i p_i \sum_j \ p_i (j) \log_2 p_i (j)$$

где $\displaystyle i$ — это состояние, зависящее от предшествующего символа, и $\displaystyle p_i(j)$ — это вероятность $\displaystyle j$, при условии, что $\displaystyle i$ был предыдущим символом.

Так, для русского алфавита без буквы «ё» $H_0=5,\ H_1=4,358,\ H_2=3,52,\ H_3=3,01$

Через частную и общую условные энтропии полностью описываются информационные потери при передаче данных в канале с помехами. Для этого применяются т.н. канальные матрицы. Так, для описания потерь со стороны источника (т.е. известен посланный сигнал), рассматривают условную вероятность $\displaystyle p(b_j|a_i)$ получения приёмником символа $\displaystyle b_j$ при условии, что был отправлен символ $\displaystyle a_i$. При этом канальная матрица имеет следующий вид:

	$\displaystyle b_1$	$\displaystyle b_2$	...	$\displaystyle b_j$	...	$\displaystyle b_m$
$\displaystyle a_1$	$\displaystyle p(b_1|a_1)$	$\displaystyle p(b_2|a_1)$	...	$\displaystyle p(b_j|a_i)$	...	$\displaystyle p(b_m|a_1)$
$\displaystyle a_2$	$\displaystyle p(b_1|a_2)$	$\displaystyle p(b_2|a_2)$	...	$\displaystyle p(b_j|a_2)$	...	$\displaystyle p(b_m|a_2)$
...	...	...	...	...	...	...
$\displaystyle a_i$	$\displaystyle p(b_1|a_i)$	$\displaystyle p(b_2|a_i)$	...	$\displaystyle p(b_j|a_i)$	...	$\displaystyle p(b_m|a_i)$
...	...	...	...	...	...	...
$\displaystyle a_m$	$\displaystyle p(b_1|a_m)$	$\displaystyle p(b_2|a_m)$	...	$\displaystyle p(b_j|a_m)$	...	$\displaystyle p(b_m|a_m)$

Очевидно, вероятности, расположенные по диагонали описывают вероятность правильного приёма, а сумма всех элементов столбца даст вероятность появления соответствующего символа на стороне приёмника — $\displaystyle p(b_j)$. Потери, приходящиеся на предаваемый сигнал $\displaystyle a_i$, описываются через частную условную энтропию: $$H(B|a_i)=-\sum_{j=1}^m p(b_j|a_i)\log_2 p(b_j|a_i)$$

Для вычисления потерь при передаче всех сигналов используется общая условная энтропия: $$\displaystyle H(B|A)=\sum_i p(a_i)H(B|a_i)$$

$\displaystyle H(B|A)$ означает энтропию со стороны источника, аналогично рассматривается $\displaystyle H(A|B)$ — энтропия со стороны приёмника: вместо $\displaystyle p(b_j|a_i)$ всюду указывается $\displaystyle p(a_i|b_j)$ (суммируя элементы строки можно получить $\displaystyle p(a_i)$, а элементы диагонали означают вероятность того, что был отправлен именно тот символ, который получен, т.е. вероятность правильной передачи).

Взаимная энтропия

Взаимная энтропия, или энтропия объединения, предназначена для рассчёта энтропии взаимосвязанных систем (энтропии совместного появления статистически зависимых сообщений) и обозначается $\displaystyle H(AB)$, где $\displaystyle A$, как всегда, характеризует передатчик, а $\displaystyle B$ — приёмник.

Взаимосязь переданных и полученных сигналов описывается вероятностями совместных событий $\displaystyle p(a_i b_j)$, и для полного описания характеристик канала требуется только одна матрица:

$\displaystyle p(a_1 b_1)$	$\displaystyle p(a_1 b_2)$	…	$\displaystyle p(a_i b_j)$	…	$\displaystyle p(a_1 b_m)$
$\displaystyle p(a_2 b_1)$	$\displaystyle p(a_2 b_2)$	…	$\displaystyle p(a_2 b_j)$	…	$\displaystyle p(a_2 b_m)$
…	…	…	…	…	…
$\displaystyle p(a_i b_1)$	$\displaystyle p(a_i b_2)$	…	$\displaystyle p(a_i b_j)$	…	$\displaystyle p(a_i b_m)$
…	…	…	…	…	…
$\displaystyle p(a_m b_1)$	$\displaystyle p(a_m b_2)$	…	$\displaystyle p(a_m b_j)$	…	$\displaystyle p(a_m b_m)$

Для более общего случая, когда описывается не канал, а просто взаимодействующие системы, матрица необязательно должна быть квадратной. Очевидно, сумма всех элементов столбца с номером $\displaystyle j$ даст $\displaystyle p(b_j)$, сумма строки с номером $\displaystyle i$ есть $\displaystyle p(a_i)$, а сумма всех элементов матрицы равна 1. Совместная вероятность $\displaystyle p(a_ib_j)$ событий $\displaystyle a_i$ и $\displaystyle b_j$ вычисляется как произведение исходной и условной вероятности, $$\displaystyle p(a_ib_j)=p(a_i)p(b_j|a_i)=p(b_j)p(a_i|b_j).$$ Условные вероятности производятся по формуле Байеса. Таким образом имеются все данные для вычисления энтропий источника и приёмника: $$H(A)=-\sum_i \left( \sum_j p(a_i b_j) \log \sum_j p(a_i b_j) \right)$$ $$H(B)=-\sum_j \left( \sum_i p(a_i b_j) \log \sum_i p(a_i b_j) \right)$$ Взаимная энтропия вычисляется последовательным суммированием по строкам (или по столбцам) всех вероятностей матрицы, умноженных на их логарифм: $$\displaystyle H(AB)=-\sum_i \sum_j p(a_i b_j) \log p(a_i b_j)$$ Единица измерения — бит/два символа, это объясняется тем, что взаимная энтропия описывает неопределённость на пару символов — отправленного и полученного. Путём несложных преобразований также получаем $$\displaystyle H(AB)= H(A)+H(B|A) = H(B)+H(A|B).$$

Взаимная энтропия обладает свойством информационной полноты — из неё можно получить все рассматриваемые величины.

Свойства

Важно помнить, что энтропия является количеством, определённым в контексте вероятностной модели для источника данных. Например, кидание монеты имеет энтропию $-2(0,5\log_2 0,5)=1$ бита на одно кидание (при условии его независимости). У источника, который генерирует строку, состоящую только из букв «А», энтропия равна нулю: $-\sum_{i=1}^\infty \log_2 1 = 0$. Так, к примеру, опытным путём можно установить, что энтропия английского текста равна 1,5 бит на символ, что конечно будет варьироваться для разных текстов. Степень энтропии источника данных означает среднее число битов на элемент данных, требуемых для её зашифровки без потери информации, при оптимальном кодировании.

1. Некоторые биты данных могут не нести информации. Например, структуры данных часто хранят избыточную информацию, или имеют идентичные секции независимо от информации в структуре данных.
2. Количество энтропии не всегда выражается целым числом бит.

Альтернативное определение

Другим способом определения функции энтропии H является доказательство, что H однозначно определена (как указано ранее), если и только если H удовлетворяет пунктам 1)—3):

1) H(p₁, …, p_n) определена и непрерывна для всех p₁, …, p_n, где p_i $\in$[0,1] для всех i = 1, …, n и p₁ + … + p_n = 1. (Заметьте, что эта функция зависит только от распределения вероятностей, а не от алфавита.)

2) Для целых положительных n, должно выполняться следующее неравенство: $$H\underbrace{\left(\frac{1}{n}, \ldots, \frac{1}{n}\right)}_{n\ \mathrm{arguments}} < H\underbrace{\left(\frac{1}{n+1}, \ldots, \frac{1}{n+1}\right).}_{n+1\ \mathrm{arguments}}$$

3) Для целых положительных b_i, где b₁ + … + b_n = n, должно выполняться равенство: $$H\left(\frac{1}{n}, \ldots, \frac{1}{n}\right) = H\left(\frac{b_1}{n}, \ldots, \frac{b_k}{n}\right) + \sum_{i=1}^k \frac{b_i}{n} H\left(\frac{1}{b_i}, \ldots, \frac{1}{b_i}\right).$$

Эффективность

Исходный алфавит, встречающийся на практике, имеет вероятностное распределение, которое далеко от оптимального. Если исходный алфавит имел n символов, тогда он может может быть сравнён с «оптимизированным алфавитом», вероятностное распределение которого однородно. Соотношение энтропии исходного и оптимизированного алфавита — это эффективность исходного алфавита, которая может быть выражена в процентах.

Из этого следует, что эффективность исходного алфавита с n символами может быть определена просто как равная его n-арной энтропии.

Энтропия ограничивает максимально возможное сжатие без потерь (или почти без потерь), которое может быть реализовано при использовании теоретически — типичного набора или, на практике, — кодирования Хаффмана, кодирования Лемпеля-Зива или арифметического кодирования.

История

В 1948 году, исследуя проблему рациональной передачи информации через зашумленный коммуникационный канал, Клод Шеннон предложил революционный вероятностный подход к пониманию коммуникаций и создал первую, истинно математическую, теорию энтропии. Его сенсационные идеи быстро послужили основой разработки двух основных направлений: теории информации, которая использует понятие вероятности и эргодическую теорию для изучения статистических характеристик данных и коммуникационных систем, и теории кодирования, в которой используются главным образом алгебраические и геометрические инструменты для разработки эффективных шифров.

Понятие энтропии, как меры случайности, введено Шенноном в его статье «A Mathematical Theory of Communication», опубликованной в двух частях в Bell System Technical Journal в 1948 году.

Литература

2.Цымбал В.П. Теория информации и кодирование. — К.:Выща Школа, 1977. — 288 с.

См. также

• Энтропийное кодирование
• Цепь Маркова
• Для понимания информационной энтропии можно прибегнуть к примеру из области термодинамической энтропии получившему широко известное название Демона Максвелла.

Внешние ссылки

• http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html (англ.)
• С.М. Коротаев. Энтропия и информация — Универсальные естественнонаучные понятия