Кардиоида

Построение кардиоиды

Кардио́ида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали; в природе нередко мы наблюдаем световые каустики в виде кардиоид.

Уравнения

• В прямоугольных координатах:

  $(x^2 + y^2)^2 - 2 a x (x^2 + y^2) - a^2 y^2 \, = \, 0$

• В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

  $x = a (2 \cos t - \cos 2t)$

  $y = a (2 \sin t - \sin 2t)$

• В полярных координатах:

  $r = a (1 - \cos\varphi)$

Свойства

• Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Кардиоида имеет один касп.
• Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой:

  $r = a (1 - \cos\varphi)$

равна:

$$S = {3\over 2} \pi a^2.$$