Ланчестерские модели

Ланчестерские модели — условное название математических моделей боя, выражающих динамику потерь.

В общем виде, ланчестерские модели описываются системой дифференциальных уравнений: $$\begin{cases}\dv{x}{t} = ax + bxy + cy + d \\\dv{y}{t} = ey + fxy + gx + h,\end{cases}$$ где $t$ — время с начала боя, $x$ и $y$ — силы сторон в момент $t$, $a$ и $e$ — небоевые потери сторон, $b$ и $f$ — потери из-за воздействия на площадные цели, $c$ и $g$ — потери из-за воздействия на переднем крае, $d$ и $h$ — подкрепления.

Структура прироста или убыли сил сторон

Слагаемые, образующие правую часть формул, делятся на:

• зависящие от собственных сил и не зависящие,
• зависящие от сил противника и не зависящие.

Зависимость от собственных сил	Зависимость от сил противника
	нет	да
нет	Подкрепления: $d$ и $h$	Потери от прицельного огня: $cy$ и $gx$
да	Небоевые потери: $ax$ и $ey$	Потери при встрече / от огня по площадям: $bxy$ и $fxy$

В этом смысле, модель является исчерпывающей и не поддающейся обобщению, оставаясь линейной относительно сил сторон.

Обобщение на случай многих сторон

$$\begin{equation*}\dv{x_i}{t} = a_i x_i + \left( \sum\limits_{j} b_{ij} x_j \right) x_i + \sum\limits_{j} c_{ij} x_j + d_i ,\end{equation*}$$ где:

• $x_i$ — численность стороны $i$ в момент $t$,
• $a_i$ — небоевые потери стороны $i$,
• $b_{ij}$ — потери, наносимые стороной $j$ стороне $i$, зависящие от встречи сторон (от огня по площадям):
  • в задачах, не предусматривающих перемирий и союзов (война всех против всех), может иметь смысл упрощение: $b_{ij} = p_i q_j$, где $p_i$ — чувствительность стороны $i$ к огню по площадям, $q_i$ — интенсивность огня по площадям, который ведёт сторона $j$,
• $c_{ij}$ — потери, наносимые стороной $j$ стороне $i$, не зависящие от встречи сторон (от прицельного огня),
• $d_i$ — подкрепления, получаемые стороной $i$.

Потери участвуют в уравнении с минусом, подкрепления — с плюсом.

В матрично-векторной форме запись будет следующей: $$\begin{equation*}\dv{\mathbf{x}}{t} =\mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} + \mathbf{d} =\left( \diag \left ( \mathbf{a} \right) + \diag \left( B \mathbf{x} \right) + C \right) \mathbf{x} + \mathbf{d} ,\end{equation*}$$ где:

• $\odot$ — покомпонентное произведение векторов,
• $\diag \left( \mathbf{v} \right)$ — диагональная матрица, соответствующая вектору $\mathbf{v}$,
• $\mathbf{x}$ — вектор численностей сторон,
• $\mathbf{a}$ — вектор небоевых потерь сторон,
• $B$ — матрица потерь, зависящих от встречи сторон (от огня по площадям); строка означает сторону, несущую потери, стобец — сторону, их наносящую,
• $C$ — матрица потерь, не зависящих от встречи сторон (от прицельного огня); строка означает сторону, несущую потери, стобец — сторону, их наносящую,
• $\mathbf{d}$ — вектор подкреплений, получаемых сторонами.

Классификация

У частных случаев ланчестерских моделей ненулевые только отдельные коэффициенты:

Коэффициенты								Уравнения		Название	Особенности	Применение
$$a$$	$$b$$	$$c$$	$$d$$	$$e$$	$$f$$	$$g$$	$$h$$	для двух сторон	обобщённые (векторные)
								$$\begin{cases}\dv{x}{t} = ax + bxy + cy + d \\\dv{y}{t} = ey + fxy + gx + h\end{cases}$$	$$\dv{\mathbf{x}}{t} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} + \mathbf{d}$$	Общий случай
= 0	< 0	= 0	= 0	= 0	< 0	= 0	= 0	$$\begin{cases}\dv{x}{t} = bxy \\\dv{y}{t} = fxy\end{cases}$$	$$\dv{\mathbf{x}}{t} = B \mathbf{x} \odot \mathbf{x}$$	Уравнения Ланчестера	Число потерь пропорционально числу встреч противников	Партизанская война, репрессии, межнациональный конфликт
= 0	= 0	< 0	= 0	= 0	= 0	< 0	= 0	$$\begin{cases}\dv{x}{t} = cy \\\dv{y}{t} = gx\end{cases}$$	$$\dv{\mathbf{x}}{t} = C \mathbf{x}$$	Уравнения Осипова	Число потерь пропорционально численности противоположной стороны	Классический бой на линии фронта с безопасным тылом
= 0	= 0	< 0	> 0	= 0	= 0	< 0	> 0	$$\begin{cases}\dv{x}{t} = cy + d \\\dv{y}{t} = gx + h\end{cases}$$	$$\dv{\mathbf{x}}{t} = C \mathbf{x} + \mathbf{d}$$	Модель fat-yankee	Число потерь пропорционально численности противоположной стороны, есть подкрепления	Классический бой на линии фронта с безопасным тылом и прибытием подкреплений
< 0	= 0	= 0	= 0	< 0	= 0	= 0	= 0	$$\begin{cases}\dv{x}{t} = ax \\\dv{y}{t} = ey\end{cases}$$	$$\dv{\mathbf{x}}{t} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x}$$	Модель Петерсона	Количество жертв определяется численностью своей стороны	Мирное время, когда потери только небоевые
= 0	= 0	< 0	= 0	= 0	< 0	= 0	= 0	$$\begin{cases}\dv{x}{t} = cy \\\dv{y}{t} = fxy\end{cases}$$	$$\dv{\mathbf{x}}{t} = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x} \odot \mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c &0 \end{pmatrix} \mathbf{x}$$	Модель Брекни	Первая сторона несёт потери, пропорциональные численности противника, а вторая — числу встреч	Партизанская война, которую вторая сторона ведёт против первой
< 0	= 0	< 0	> 0	< 0	= 0	< 0	> 0	$$\begin{cases}\dv{x}{t} = ax + cy + d \\\dv{y}{t} = ey + gx + h\end{cases}$$	$$\dv{\mathbf{x}}{t} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + C \mathbf{x} + \mathbf{d}$$	Упрощение Митюкова	Стороны несут потери небоевые, и боевые, пропорциональные силам противника, при этом получают подкрепления. Влияние собственных сил на потери от противника вносится в соответствующий коэффициент
> 0	< 0	= 0	= 0	< 0	> 0	= 0	= 0	$$\begin{cases}\dv{x}{t} = ax + bxy \\\dv{y}{t} = ey + fxy\end{cases}$$	$$\dv{\mathbf{x}}{t} = \mathbf{a} \odot \mathbf{x} + B \mathbf{x} \odot \mathbf{x}$$	Модель Лотки-Вольтерры	Первая сторона (жертвы) имеет естественный прирост, и несёт потери при встрече с хищником. Вторая сторона (хищники) имеет естественную смертность, и может прибавлять в численности только в результате встречи с жертвой	Популяционная динамика системы «хищник-жертва»

Аналитические решения могут иметь только линейные частные случаи с $B = O$.

История

В 1916 Фредерик Уильям Ланчестер предложил уравнения первого рода для моделирования воздушного боя, откуда и название моделей.

Ссылки

• Митюков Н.В. «Определение жертв войн через ланчестерские модели» // Историческая психология и социология истории. — 2009. — Т. 2. — № 2.
• Английский перевод статьи «Влияние численности сражающихся сторон на их потери» М. Осипова.