Модель Лотки-Вольтерры

Модель Лотки-Вольтерры — математическая модель системы «хищник-жертва», предложенная независимо друг от друга А. Дж. Лоткой в 1925 и Вито Вольтеррой в 1926. Является частным случаем обобщённых уравнений Лотки-Вольтерры; также может считаться частным случаем уравнений Арриджи-Гинцбурга.

Допущения

Предполагается, что ареал закрыт, пропитания для травоядных жертв в избытке, а сами они — единственная пища хищников.

Модель

Если численность травоядных — $x$, а хищников — $y$, то потери травоядных от хищников в единицу времени будут пропорциональны вероятности их встречи, в свою очередь, пропорциональной численности тех и других, и составят $\beta x y$. Часть съеденного хищники направят на размножение, которое составит $\delta x y$; очевидно, что $\delta \ll \beta$.

Далее, если обозначить коэффициент естественного прироста травоядных как $\alpha$, а коэффициент естественной убыли хищников без пищи — $\gamma$, то изменение численности тех и других будет описываться системой уравнений:

$$\begin{equation}\label{lv}\begin{cases}\dv{x}{t} = x \left( \alpha - \beta y \right) \\\dv{y}{t} = y \left( - \gamma + \delta x \right)\end{cases}\end{equation}$$

Решения

Аналитического решения система уравнений не имеет.

Равновесие

Равновесие в системе описывается уравнениями: $$\begin{cases}\dv{x}{t} = x \left( \alpha - \beta y \right) = 0 \\\dv{y}{t} = y \left( -\gamma + \delta y \right) = 0\end{cases}$$

Эта система имеет два решения: $\bar{x} = \bar{y} = 0$, соответствующее полному вымиранию, и

$$\begin{equation}\label{stable}\begin{cases}\bar{x} = \dfrac{\gamma}{\delta} \\\bar{y} = \dfrac{\alpha}{\beta}\end{cases}\end{equation}$$

Малые колебания

Предположим, что численность хищников и жертв незначительно отклоняется от ненулевого равновесия: $x = \bar{x} + \tilde{x}$, $\tilde{x} \ll \bar{x}$, $y = \bar{y} + \tilde{y}$, $\tilde{y} \ll \bar{y}$. Тогда, с учётом выведенных производных $\eqref{lv}$, формул $\eqref{stable}$ для $\bar{x}$ и $\bar{y}$ и того, что $\tilde{x}\tilde{y}$ — бесконечно малая более высокого порядка, чем $\tilde{x}$ и $\tilde{y}$:

$$\begin{cases}\dv{\tilde{x}}{t} = \dv{x}{t} = x \left( \alpha - \beta y \right) = \left( \bar{x} + \tilde{x} \right) \left( \alpha - \beta \left( \bar{y} + \tilde{y} \right) \right) = - \frac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} \\\dv{\tilde{y}}{t} = \dv{y}{t} = y \left( -\gamma + \delta x \right) = \left( \bar{y} + \tilde{y} \right) \left( - \gamma + \delta \left(\bar{x} + \tilde{x} \right) \right) = \frac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x}\end{cases}$$

Продифференцировав оба уравнения ещё раз и подставив их же в результат, получим:

$$\begin{cases}\frac{\dd^2\tilde{x}}{\dd t^2} = \frac{\dd}{\dd t} \left( \dv{\tilde{x}}{t} \right) = \frac{\dd}{\dd t} \left( - \frac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} \right) = - \frac{\beta \gamma}{\delta} \times \dv{\tilde{y}}{t} = - \frac{\beta \gamma}{\delta} \times \frac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} = - \alpha\gamma\tilde{x} \\\frac{\dd^2\tilde{y}}{\dd t^2} = \frac{\dd}{\dd t} \left( \dv{\tilde{y}}{t} \right) = \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} \right) = \frac{\alpha \delta}{\beta} \times \dv{\tilde{x}}{t} = \frac{\alpha \delta}{\beta} \times - \frac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} = - \alpha\gamma\tilde{y}\end{cases}$$

Оба полученных уравнения описывают гармонический осциллятор с периодом $T = \frac{2\pi}{\sqrt{\alpha\gamma}}$. Амплитуды и сдвиг фаз колебаний будут определяться отклонением первоначальных значений $\tilde{x}_0$ и $\tilde{y}_0$ от положения равновесия.

См. также

• Конкурентные уравнения Лотки-Вольтерры,
• Уравнения Чейза-Осипова-Ланчестера,
• Логистическое уравнение.