Open main menu

Математические основы квантовой механики

Квантовая механика
\(\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} \)
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы

Основные понятияEdit

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях:[1]

  • Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами \(~\psi\) комплексного сепарабельного гильбертова пространства \(~H\), причем векторы \(~\psi_1\) и \(~\psi_2\) описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда \(~\psi_2=c\psi_1 , \) где \(~c\) — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.
  • Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).
  • Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шредингера

$$~i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}= \hat{H}\psi , $$

где \(~\hat{H}\) — гамильтониан:

$$~{\hat{H}}=-{\frac{{\hbar}^2}{2m}}{ \left( {\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}x}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}y}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}z}^2}} \right) }+{\hat E_{\rm{pot}}} .$$

Стационарные, т. е. не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шредингера:

$$~{{\hat{H}}{\psi}}={E{\psi}} .$$

  • Каждому вектору \(~\psi\not=0\) из пространства \(~H\) отвечает некоторое чистое состояние системы, любой линейный самосопряженный оператор соответствует некоторой наблюдаемой.

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно[2]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

См. такжеEdit

ЛитератураEdit

СсылкиEdit

  1. Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.о книге
  2. Хотя это и не обязательно.