Уравнение Дирака

Уравнение Дирака — квантовое уравнение движения электрона, удовлетворяющее требованиям теории относительности; установлено П. Дираком в 1928.

Вид уравнения

Уравнение Дирака записывается в виде $$\left(\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t)$$

где m — масса покоя электрона, c — скорость света, p — оператор импульса, $\hbar$ — постоянная Планка, x и t пространственные и временная компонента соответственно, и ψ(x, t) — четырёхкомпонентная волновая функция (биспинор).

$\alpha_j$ — линейные операторы, которые действуют на волновую функцию. Они антикоммутируют друг с другом. Другими словами $$\alpha_i\alpha_j = -\alpha_j\alpha_i,$$ где индексы i и j ($i\ne j$), меняются от 0 до 3. Наиболее простой способ вывести эти свойства — воспользоваться матрицами размера 4×4. Это минимальный размер матриц, для которых выполняются условия антикоммутации.

Физический смысл

Электрон, позитрон

Из уравнения Дирака следует, что электрон обладает собственным механическим моментом количества движения — спином, равным ħ/2, а также собственным магнитным моментом, равным магнетону Бора eħ/mc, которые ранее (1925) были открыты экспериментально (e и m — заряд и масса электрона, с — скорость света, ħ — постоянная Планка). С помощью уравнения Дирака была получена более точная формула для уровней энергии атома водорода (и водородоподобных атомов), включающая тонкую структуру уровней (см. Атом), а также объяснён эффект Зеемана. На основе уравнения Дирака были найдены формулы для вероятностей рассеяния фотонов свободными электронами (комптон-эффекта) и излучения электрона при его торможении (тормозного излучения), получившие экспериментальное подтверждение. Однако последовательное релятивистское описание движения электрона даётся квантовой электродинамикой.

Характерная особенность уравнения Дирака — наличие среди его решений таких, которые соответствуют состояниям с отрицательными значениями энергии для свободного движения частицы (что соответствует отрицательной массе частицы). Это представляло трудность для теории, так как все механические законы для частицы в таких состояниях были бы неверными, переходы же в эти состояния в квантовой теории возможны. Действительный физический смысл переходов на уровни с отрицательной энергией выяснился в дальнейшем, когда была доказана возможность взаимопревращения частиц. Из уравнения Дирака следовало, что должна существовать новая частица (античастица по отношению к электрону) с массой электрона и электрическим зарядом противоположного знака; такая частица была действительно открыта в 1932 К. Андерсоном и названа позитроном. Это явилось огромным успехом теории электрона Дирака. Переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией и обратный переход интерпретируются как процесс образования пары электрон-позитрон и аннигиляция такой пары.

Применение для других частиц

Уравнение Дирака справедливо и для др. частиц со спином 1/2 (в единицах ħ) — мюонов, нейтрино. Для протона и нейтрона, также обладающих спином 1/2, оно приводит к неправильным значениям магнитных моментов: магнитный момент «дираковского» протона должен быть равен ядерному магнетону eħ/2Мc (М — масса протона), а нейтрона (поскольку он не заряжен) — нулю. Опыт же даёт, что магнитный момент протона примерно в 2,8 раза больше ядерного магнетона, а магнитный момент нейтрона отрицателен и по абсолютной величине составляет около 2/3 от магнитного момента протона. Аномальные магнитные моменты этих частиц обусловлены их сильными взаимодействиями.

В действительности данное уравнение применимо для кварков, которые также являются элементарными частицами со спином 1/2. Модифицированное уравнение Дирака можно использовать для описания протонов и нейтронов, которые не являются элементарными частицами (они состоят из кварков). Другую модификацию уравнения Дирака уравнение Майорана описывает нейтрино.

Уравнение Дирака и квантовая теория поля

Уравнение Дирака описывает амплитуду вероятности для одного электрона. Это одночастичная теория, она не принимает в расчёт рождение и уничтожение частиц. Она хорошо предсказывает магнитный момент электрона и тонкую структуру линий в спектре атомов. Она объясняет спин электрона, поскольку два из четырёх решений уравнения соответствуют двум спиновым состояниям электрона. Два оставшихся решений с отрицательной энергией соответствуют положительно заряженному электрону (позитрону).

Несмотря на эти успехи, теория имеет недостаток, не принимая во внимание рождение и уничтожение частиц — одно из фундментальных следствий относительности. Эта трудность разрешена в новой квантовой теории поля. Добавляя квантованное электромагнитное поле, эта теория ведёт к квантовой электродинамике.

Решение уравнения

Для решение уравнения для свободной частицы привлекается спинор $\chi$ $$\chi^{(1)} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{(2)} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \,$$

где $\chi^{(1)} \,$ соответствует спину вверх, а $\chi^{(2)} \,$ соответствует спину вниз.

Для антицастиц верно обратное: $$\chi^{*(1)} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{*(2)} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \,$$

Введём также матрицы Паули, $$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \quad \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \quad \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$$

Для частиц

Решение уравнения Дирака для свободных частиц запишется в виде $$\psi = u(\mathbf{p}) e^{i p \cdot x} \,$$

где

$$\mathbf{p} \,$$- обычный трёхмерный вектор, а

p и x - четыревектора.

Биспинор u является функцией момента и спина, $$u^{(s)}(\mathbf{p}) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix} \chi^{(s)}\\ \frac{\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{E+m} \chi^{(s)} \end{bmatrix} \,$$

Для античастиц

$$\psi = v(\mathbf{p}) e^{i p \cdot x} \,$$ с $$v^{(s)}(\mathbf{p}) = \sqrt{|E|+m} \begin{bmatrix} \frac{- \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{|E|+m} \chi^{*(s)} \\ \chi^{*(s)} \end{bmatrix} \,$$

Биспиноры

Полные соотношения для биспиноров u и v: $$\sum_{s=1,2}{u^{(s)}_p \bar{u}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ + m \,$$ $$\sum_{s=1,2}{u^{(s)}_p \bar{v}^{(s)}_p} = p\!\!\!/ - m \,$$

где

$$a\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu \,$$

Гамма матрицы Дирака

Удобный, но не единственный выбор $\alpha$s $$\alpha_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \quad \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ,$$ $$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \alpha_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} ,$$

известны как гамма матрицы Дирака.

Вывод уравнения Дирака

Уравнение Дирака - релятивистское обобщение уравнения Шрёдингера: $$H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle.$$

Для удобства мы будем работать в координатном представлении, в котором состояние системы звдаётся волновой функцией ψ(x,t). В этом представлении уравнение Шрёдингера запишется в виде $$H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t)$$

где гамильтониан H теперь действует на волновую функцию.

Мы должны определить гамильтониан так, чтобы он описывал приблизительно полную энергию системы. Рассмотрим свободный электрон изолированный от всех внешних полей. Для нерелятивистской модели мы возьмём гамильтониан аналогичный кинетической энергии в классической механике (не приимая во внимание спина пока): $$H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m},$$

где p' - оператор импульса, индексы j=1,2,3 обозначают его проекции. Каждый оператор импульса действует на волновую функцию как пространственная производная: $$p_j \psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - i \hbar \, \frac{\partial\psi}{\partial x_j} (\mathbf{x},t)$$

Чтобы описать релятивистскую системы мы должны найти другой гамильтониан, предполагая, что оператор импулься сохраняет представленное выше определение. Согласно соотношению для релятивистской энергии, полная энергия системы задаётся как $$E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.$$

Это приводит к выражению $$\sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \; \psi = i \hbar \frac{d\psi}{d t}.$$

Это не удовлетворительное уравнение, так как подразумевает неравноправие времени и пространства, одного из краеугольных камней специальной теории относительности. Квадрат этого выражения приводит к уравнению Клейна-Гордона. Дирак предположил, что поскольку правая часть уравнения содержит первую производную по времени, то и левая часть должна иметь производную первого порядка по пространственным переменным (то есть операторы импульса). Один из способов это сделать если выражение под квадратным корнем представляет собой идеальный квадрат. Предположим, что $$E \cdot I = \alpha_0 mc^2 + c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i.$$

Здесь I означает единичный элемент. Мы получим свободное уравнение Дирака:

$i\hbar \frac{d\psi}{dt} = \left[ c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i + \alpha_0 mc^2 \right] \psi$

где коэффициенты α определяются благодаря релятивистской полной энергии. $$E^2 = (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2 = \left( \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \, c \right)^2.$$

Раскрывая скобки получаем следующие условия на α: $$\alpha_0^2 = I,$$ $$\alpha_i \alpha_0 + \alpha_0 \alpha_i = 0 \,, \quad i = 1,2,3,$$ $$\quad \alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 2 \delta_{ij} \,,\quad i,j = 1, 2, 3.$$

последние условия модно записать кратко как $$\left\{\alpha_\mu , \alpha_\nu\right\} = 2\delta_{\mu \nu} \cdot I \,,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3$$

где {...} - антикоммутатор,определяемый как {A,B}≡AB+BA,и δ - символ Кронекера, который принимает значение 1 если два индекса равны и в противном случае 0. Смотрите алгебра Клиффорда.

Этим условиям нельзя удовлетворить если α обычные числа, но только если принять, что α - матрицы. Матрицы должны быть эрмитовы, так чтобы гамильтониан тоже был эрмитовым оператором. Наименьшая размерность матриц, которые удовлетворяют данным выше критериям это матрицы 4×4, но выбор или представление их неоднозначено. Хотя выбор группового представления не влияет на свойства уравнения Дирака, оно влияет на физический смысл компонент волновой функции.

Во введении мы привели представление использованное Дираком. Это представление можно правильно записать как $$\alpha_0 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix} \quad \alpha_j = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{bmatrix}$$

где 0 и I - 2×2 нулывая и единичная матрицы соответственно, и σ_j's (j = 1, 2, 3) - матрицы Паули.

Гамильтониан В этом уравнении $$H = \,\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c$$

называется гамильтонианом Дирака.

Уравнение Дирака в представлении кватернионов

Уравнение Дирака можно просто записать в представлении использующем кватернионы. Мы запишем его в терминах представления двух полей над кватернионами для правых (Ψ) левых (Φ) электронов: $$\partial_t\psi i + i \partial_x \psi+j \partial_y \psi + k\partial_z \psi= m_e \phi j,$$ $$\partial_t\phi i - i \partial_x \phi-j \partial_y \phi- k\partial_z \phi = m_e \psi j.$$ Здесь важно с какой стороны единичные кватернионы умножаются. Заметим, что массовый и временной члены умножаются справа на кватернионы. Это представление уравнения Дирака используется в компьютерном моделировании.

Природа волновой функции

Поскольку на волновую функцию ψ действуют матрицы 4×4, она должна быть четырёхкомпонентным объектом. Мы увидим в следующем параграфе, что волновая функция состоит из двух степеней свободы, одна из которых соответствует положительным энергиям, а другая отрицательным. Каждая из них имеет ещё по две степени свободы, связанные с проекцией спина на выделенные состояния «вверх» или «вниз».

Мы можем записать волновую функцию в виде столбца: $$\psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{bmatrix}\psi_1(\mathbf{x},t) \\ \psi_2(\mathbf{x},t) \\ \psi_3(\mathbf{x},t) \\ \psi_4(\mathbf{x},t) \end{bmatrix}.$$

Дуальную волновую функцию записывают в виде строки: $$\psi^\dagger(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{bmatrix}\psi_1^*(\mathbf{x},t) & \psi_2^*(\mathbf{x},t) & \psi_3^*(\mathbf{x},t) & \psi_4^*(\mathbf{x},t) \end{bmatrix}$$

где символ * обозначает комплексное сопряжение. Сравнивая дуальную и скалярную (однокомпонентную) волновые функции мы видим, что это просто ее комплексное сопряжение.

Как и для обычной однокомпонентной волновой функции можно ввести квадрат модуля волновой функции, который даёт плотность вероятности как функцию координаты x и времени t. В данном случае "квадрат модуля" является скалярное произведение волновой и её дуальной функций: $$\psi^\dagger \psi \, (\mathbf{x},t) = \sum_{j = 1}^4 \psi_j^*(\mathbf{x},t) \psi_j(\mathbf{x},t).$$

Сохранение вероятности задаёт условие нормировки $$\int \psi^\dagger \psi \, (\mathbf{x},t) \; d^3x = 1.$$

Привлекая уравнение Дирака можно получить "локальный" ток вероятности: $$\frac{\partial}{\partial t} \psi^\dagger \psi \, (\mathbf{x},t) = - \nabla \cdot \mathbf{J}.$$

Ток вероятности J за даётся как $$J_j = c \psi^\dagger \alpha_j \psi.$$

Умножая J на заряд электрона e, приходим к плотности электрического тока j для электрона.

Значение компонент волновой функции зависит от координатной системы. Дирак показал как ψ преобразуется при изменении координатной системы, включая повороты в трёхмерном пространстве как и преобразования Лоренца между релятивистскими системами отсчёта. ψ не преобразуется как вектор при вращениях и это объект известный как спинор.

Энергетический спектр

Полезно найти собственные значения энергии гамильтониана Дирака. Для того чтобы это сделать мы должны решить нестационарное уравнение Шрёдингера $$H \psi_0 (\mathbf{x}) = E \psi_0(\mathbf{x})$$

где ψ₀ - независимая от времени часть полной волновой функции $$\psi (\mathbf{x}, t) = \psi_0 (\mathbf{x}) e^{- i E t / \hbar}.$$

Будем искать решение в виде плоских волн. Для удобства выберем в качестве оси движения ось z. Таким образом $$\psi_0 = w e^{\frac{ipz}{\hbar}}$$

где w - постоянный четырёхкомпонентный спинор и p - импульс частицы, как можно показать действуя оператором импульса на эту волновую функцию. В представлении Дирака уравнение для ψ₀ сводится к задаче на собственные значения: $$\begin{bmatrix} mc^2 & 0 & pc & 0 \\ 0 & mc^2 & 0 & -pc \\ pc & 0 & -mc^2 & 0 \\ 0 & -pc & 0 & -mc^2 \end{bmatrix} w = E w.$$

Для каждого значения p, существует два двумерных пространства собственных значений. Одно пространство собственных значений содержит положительные собственные значения, а друге - отрицательные в виде $$E_\pm (p) = \pm \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}.$$

пространство с положительными собственными значениями порождается собственными состояниями: $$\left\{ \begin{bmatrix}pc \\ 0 \\ \epsilon \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ pc \\ 0 \\ - \epsilon \end{bmatrix} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2}}$$

и для отрицательных: $$\left\{ \begin{bmatrix}-\epsilon \\ 0 \\ pc \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ \epsilon \\ 0 \\ pc \end{bmatrix} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2}}$$

где $$\epsilon \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ |E| - mc^2.$$

Первое порождающее собственное состояние вкаждом собственном пространтсве имеет положительную проекцию спина на z напревление ("спин вверх"), и второе собственное состояние имеет спин указывающий и противоположном направлении −z ("спин вниз").

В нерелятивистском пределе ε компонента спинора кменьшается до конетической энергии частицы, которая пренебрежимо мала в сравнении с pc: $$\epsilon \sim \frac{p^2}{2m} \ll pc.$$

В этом пределе четырёхкомпонентную волновую функцию можно интерпретировать как относительную амплитуду (i) спин вверх с положительной энергией, (ii) спин вниз с положительной энергией, (iii) спин вверх с отрицательной энергией, и (iv) спин вниз с отрицательной энергией. Это описание не точно в релятивистском случае, где ненулевые компоненты спинора имеют тот же порядок величины.

Дырочная теория

Найденные в предыдущей секции решения c отрицательными энергиями проблематичны, поскольку предполагалось, что частица имеет положительную энергию. Математически говоря, однако, кажется, нет никакой причины для нас, чтобы отклонить решения отрицательной энергии. Так как они существуют, мы не можем просто игнорировать их, как только мы включаем взаимодействие между электроном и электромагнитным полем, любой электрон, помещенный в состояние с положительной энергией перешёл бы в состояние с отрицательной энергией успешно понизив энергию, испуская лишнюю энергию в форме фотонов. Реальные электроны очевидно не ведут себя таким образом.

Чтобы справляться с этой проблемой, Дирак вводил гипотезу, известную как дырочная теория, что вакуум - это многочастичное квантовое состояние, в котором все состояния с отрицательной энергией заняты. Это описание вакуума как "море" электронов называют морем Дирака. Поскольку принцип запрета Паули запрещает электронам занимать тоже самое состояние, любой дополнительный электрон был бы вынужден занять состояние с положительной энергией, и электроны с положительной энергии не будут переходить в состояния с отрицательной энергией.

Дирак далее рассуждал, что если состояния с отрицательной энергией не полностью заполнены, каждое незанятое состояние – назваемое дыркой – вело бы себя как положительно заряженная частица. Отверстие обладает "положительной" энергией, так как энергия необходима для создания пары частица–дырка из вакуума. Как отмечено выше, Дирак первоначально думал, что дырка могла бы быть протоном, но Вейль указал, что дырка должна вести себя, как будто она имеет ту же самую массу как электрон, тогда как протон более чем в 1800 раз тяжелее. Дырка была в конечном счете идентифицирована как позитрон, экспериментально обнаруженный Карлом Андерсоном в 1932.

Описание "вакуума" через бесконечное море электронов отрицательной энергии не вполне удовлетворительно. Бесконечно отрицательные вклады от моря электронов отрицательной энергии должны быть сокращены с бесконечной положительной "голой" энергией и вкладом в плотность заряда, и ток, идущий от моря электронов отрицательной энергии точно сокращается с бесконечным положительным фоном "желе" так, чтобы полная электрическая плотность заряда вакуума равнялась нулю. В квантовой теории поля, преобразование Боголюбова операторов рождения и уничтожения (превращающий занятое электроное состояние с отрицательной энергией в незаполненное позитронное состояние с положительной энергией и незанятое электронное состояние с отрицательной энергией в занятое позитронное состояние с положительной энергией) позволяет нам обходить формализм моря Дирака даже при том, что, формально, эти подходы эквивалентны.

В определенных применениях в физике твёрдого тела, однако, основные понятия "дырочной теории" являются корректными. Море электронов проводимости в проводнике, называют морем Ферми, содержит электроны с энергиями до химического потенциала системы. Незаполненные состояние в море Ферми ведут себя как положительно-заряженный электроны, хотя это "дырка", а не "позитрон". Отрицательный заряд моря Ферми уравновешен положительно-заряженной ионной решеткой материала.

Электромагнитное взаимодействие

Пока, мы рассмотрели электрон, который на который не действует никаких внешних полей. Переходя по аналогии с гамильтониан заряженной частицы в классической электродинамике, мы можем изменить гамильтониан Дирака, чтобы включить эффект электромагнитного поля. Переписанный гамильтониан - (в единицах SI): $$H = \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left[p_j - e A_j(\mathbf{x}, t) \right] c + e \varphi(\mathbf{x}, t)$$

где e - электрический заряд электрона (здесь принято соглашение, что знак e отрацателен), а A и φ - электромагнитные векторный и скалярный потенциалы, соответственно.

Полагая φ = 0 и работая в нерелятивистском пределе, Дирак, нашёл для двух верхних компонент в положительной области энергий волновые функции (которые, как обсуждено ранее, являются доминирующими компонентами в нерелятивистском пределе): $$\left( \frac{1}{2m} \sum_j |p_j - e A_j(\mathbf{x}, t)|^2 - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \sigma_j B_j(\mathbf{x}) \right) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}$$
 $= (E - mc^2) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}$

где B = $\nabla$× A - магнитное поле действующее на частицу. Это уравнение Паули для нерелятивистских частиц с полуцелым спином, с магнитным моментом $\hbar e/2mc$ (то есть, g-фактор равняется 2). Фактический магнитный момент электрона больше чем это значение, хотя только примерно на 0.12 %. Несоответствие происходит из-за квантовых колебаний в электромагнитного поля, которыми пренебрегли. См. вершинная функция.

В течение нескольких лет после открытия уравнения Дирака, большинство физиков полагало, что оно также описывает протон и нейтрон, которые являются фермионами с полуцелым спином. Однако, начинаясь с экспериментов Стерна и фриша в 1933, найденные магнитные моменты этих частиц не совпадают значительно с предсказанными из уравнения Дирака значениями. Протон имеет магнитный момент, в 2.79 раза больший чем предсказанный (с протонной массой, вставленной для m в вышеупомянутые формулы), то есть, g-фактор равен 5.58. Нейтрон, который является электрически нейтральным, имеет g-фактор−3.83 . Эти "аномальные магнитные моменты" были первым экспериментальным признаком, что протон и нейтрон не элементарные частицы. Они фактически составлены из меньших частиц, названных кварками. Случайно, кварки имеют полуцелый спин и точно описываются уравнением Дирака.

Гамильтониан взаимодействия

Это заслуживающий внимания факт, что гамильтониан может быть записан как сумма двух слагаемых: $$H = H_{\mathrm{free}} + H_{\mathrm{int}} \,$$

где H_free - гамильтониан Дирака для свободного электрона и H_int - гамильтониан электромагнитного взаимодействия. Последний запишется в виде $$H_{\mathrm{int}} = e \varphi(\mathbf{x}, t) - ec \sum_{j=1}^3 \alpha_j A_j(\mathbf{x}, t).$$

Оно имеет математическое ожидание (среднее) $$\langle H \rangle = \int \, \psi^\dagger H_{\mathrm{int}} \psi \, d^3x = \int \, \left(\rho \varphi - \sum_{i=1}^3 j_i A_i \right) \, d^3x$$

где ρ - электрическая плотность зарядов и j - плотность электрического тока определённого раньше. Подинтегральная функция в последнем выражении - плотность энергии взаимодействия. Она релятивистски ковариантная скалярная величина, как можно увидеть если записать в терминах ток-заряд четыревектора j = (ρc,j) и потенциал четыревектора A = (φ/c,A): $$\langle H \rangle = \int \, \left( \sum_{\mu,\nu = 0}^3 \eta^{\mu\nu} j_\mu A_\nu \right) \; d^3r$$

ult η - метрика плоского пространства: $$\eta^{00} = 1,$$ $$\eta^{ii} \;= -1 \quad\, \forall \, i=1,2,3,$$ $$\eta^{\mu\nu} = 0 \qquad \forall \, \mu \ne \nu.$$

Лагранжиан

Классическая плотность лагранжиана фермиона с полуцелым спином с массой m задаётся $$\mathcal{L} = \overline{\psi} \left(i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) \psi \,$$ где $\overline{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0. \,$

Для получения уравнений движения можно подставить этот лагранжиан в уравнения Эйлера — Лагранжа: $$\partial_\mu \left( \frac{\partial L}{\partial ( \partial_\mu \psi_\sigma )} \right) - \frac{\partial L}{\partial \psi_\sigma} = 0. \,$$

Оценив два члена: $$\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \psi_\sigma ) } = \overline{\psi}_{\sigma^\prime} \left( i \gamma^\mu \right)_{\sigma^\prime \sigma} \,$$ $$\frac{\partial L}{\partial \psi_\sigma} = -m \overline{\psi}_{\sigma} \,$$

И собрав оба результата, получим уравнение $$i \partial_\mu \overline{\psi} \gamma^\mu + m \overline{\psi} = 0 \,,$$ которое идентично уравнению Дирака: $$i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = 0. \,$$

Релятивистски ковариантная форма

Вернёмся к уравнению Дирака для свободного электрона. Часто полезно написать уравнение в релятивистски ковариантной форме, в которой пространство и время рассматривается на одной и той же основе.

Чтобы сделать это сначала вспомним, что оператор момента p действует как пространственная производная: $$\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{x},t).$$

Умножая уравнение Дирака с каждой стороны на α₀ (вспоминая что α₀²=I) и подставляя его в определение для p, получим $$\left[ i\hbar c \left(\alpha_0 \frac{\partial}{c \partial t} + \sum_{j=1}^3 \alpha_0 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j} \right) - mc^2 \right] \psi = 0.$$

Теперь определим четыре гамма матрицы: $$\gamma^0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \,,\quad \gamma^j \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \alpha_j.$$

Эти матрицы обладают тем свойством, что $$\left\{\gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = 2\eta^{\mu\nu} \cdot I\,,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3$$

где η метрика плоского пространства. Эти соотношения определяют алгебру Клиффорда называемую алгеброй Дирака.

Уравнение Дирака теперь можно записать используя четыре-вектор x = (ct,x), как $$\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.$$

В этой форме уравнение Дирака можно получить с помощью нахождения экстремума действия $$\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \sum_\mu \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2)\psi \, d^4 x$$

где $$\bar\psi \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \psi^\dagger \gamma_0$$

называется дираковской присоединённой матрицей для ψ. Это основа для использования уравнения Дирака в квантовой теории поля.

Иногда используется другая форма: ("Feynman slash") перечёркнутые матрицы. Написав $$a\!\!\!/ \leftrightarrow \sum_\mu \gamma^\mu a_\mu$$

уравнение Дирака становится $$(i \hbar c \, \partial\!\!\!/ - mc^2) \psi = 0$$

и выражение для действия записывается в виде $$\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \partial \!\!\!/ - mc^2)\psi \, d^4 x.$$

В этой форме электромагнитное взаимодействие можно просто добавить расширив частнцю производную до калибровочноковариантной производной: $$\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu.$$

Дираковские билинейные формы

Имеется пять различных (нейтральных) дираковских билинейных форм без производных:

• (S) скаляр: $\bar{\psi} \psi$ (скаляр, P-чётный)
• (P) псевдоскаляр: $\bar{\psi} \gamma^5 \psi$ (скаляр, P-нечётный)
• (V) вектор: $\bar{\psi} \gamma^\mu \psi$ (вектор, P-чётный)
• (A) аксиальный вектор: $\bar{\psi} \gamma^\mu \gamma^5 \psi$ (вектор, P-нечётный)
• (T) тензор: $\bar{\psi} \sigma^{\mu\nu} \psi$ (антисимметричный тензор)

где $\sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2} \left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]_{-}$ и $\gamma^{5}=\gamma_{5}=\frac{i}{4!}\epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\lambda}=i\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}$.

См. также

• Уравнение Клейна — Гордона
• Квантовая электродинамика

Внешние ссылки

Лекции по квантовой физике

Литература

• Dirac, P.A.M., Principles of Quantum Mechanics, 4th edition (Clarendon, 1982)
• Shankar, R., Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994)
• Bjorken, J D & Drell, S, Relativistic Quantum mechanics
• Thaller, B., The Dirac Equation, Texts and Monographs in Physics (Springer, 1992)
• Schiff, L.I., Quantum Mechanics, 3rd edition (McGraw-Hill, 1955)

Выбранные статьи

• P.A.M. Dirac "The Quantum Theory of the Electron", Proc. R. Soc. A117 610 (1928) link to the volume of the Proceedings of the Royal Society of London containing the article at page 610
• P.A.M. Dirac "A Theory of Electrons and Protons", Proc. R. Soc. A126 360 (1930) link to the volume of the Proceedings of the Royal Society of London containing the article at page 360
• C.D. Anderson, Phys. Rev. 43, 491 (1933)
• R. Frisch and O. Stern, Z. Phys. 85 4 (1933)