Мера (математика)

Мера, мера множества — обобщение понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы; примером может служить мера Лебега (введённая А.Лебегом (1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости).

Мера Лебега

При определении меры Лебега, так же, как при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости (занимаемой множеством) с выбранной единицей измерения; процесс «измерения» меры Лебега также напоминает обычный процесс измерения площади: меру Лебега $\lambda(\Box)$ любого квадрата $\Box$ полагают равной его площади; внешнюю (верхнюю) меру $\lambda^*(A)$ произвольного множества $A$ полагают равной нижней грани чисел $$\sum_{n} \lambda(\Box_n),$$ взятой по всевозможным покрытиям множества $A$ счётными совокупностями квадратов $\{\Box_n \}.$ Внутренняя (нижняя) мера множества $A$ определяется как разность $$\lambda_*(A) = \lambda(\Box) - \lambda^*(A_\Box),$$ где $\Box$ — произвольный квадрат, содержащий $A,$ а $A_\Box$ — множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в $A.$

Множества, для которых $$\lambda_*(A) = \lambda^*(A),$$ называют измеримыми по Лебегу, а общее значение $\lambda(A)$ внешней и внутренней мер — мерой Лебега.

Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле, измеримы по Лебегу, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют неквадрируемые множеств, измеримые по Лебегу.