Предел функции

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция $~f(x)$ имеет предел $~A$ в точке $~x_0$, если для всех значений $~x$, достаточно близких к $~x_0$, значение $~f(x)$ близко к $~A$.

Определения

• (определение в терминах «ε−δ») Пусть дана функция $f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ и $a\in M'$ — предельная точка множества $M.$ Число $A\in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x,$ стремящемся к $a$ $(x \to a)$, если

  $\forall \varepsilon>0\; \exists \delta > 0\; \forall x \in M \quad (0<|x-a|<\delta ) \Rightarrow (|f(x) - A| < \varepsilon).$

• (окрестностное определение по Коши) Пусть дана функция $~f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ и $a\in M'$ — предельная точка множества $~M.$ Число $A\in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x,$ стремящемся к $a$ $(x \to a)$, если для любой окрестности $V(A)$ точки $A$ существует проколотая окрестность $\dot{U}(a)$ точки $a$ такая, что

  $\left(x \in \dot{U}(a)\right) \Rightarrow (f(x) \in V(A)).$

  Фундаментальное обоснование данного определения предела см. в статье предел вдоль фильтра.

• (определение по Гейне) Пусть дана функция $f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ и $a\in M'$ — предельная точка множества $M.$ Будем называть $\{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}$ последовательностью Гейне, если $\forall n\in \mathbb{N}\; \xi_n \in M \setminus \{a\},$ и $\xi_n \to a$ при $n \to \infty.$ Число $A\in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x,$ стремящемся к $a$ $(x \to a)$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем предел последовательности:

$$f(\xi_n) \to A$$при $n \to \infty.$

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Определения, аналогичное «ε−δ»

• Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ и $\sup M = \infty.$ Число $A\in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x\to +\infty$ (предел в плюс-бесконечности), если

  $\forall \varepsilon > 0\; \exists T \in \mathbb{R}\; \forall x\in M\cap (T,\infty)\quad |f(x)-A| < \varepsilon.$

  Пишут:

  $\lim\limits_{x\to \infty}f(x) = A.$

• Аналогично пусть $f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ и $\inf M = \infty.$ Число $A\in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x\to -\infty$ (предел в минус-бесконечности), если

  $\forall \varepsilon > 0\; \exists T \in \mathbb{R}\; \forall x\in M\cap (-\infty,T)\quad |f(x)-A| < \varepsilon.$

Пишут:

• $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = A.$

Окрестностное определение

Расширенная числовая прямая $\bar{\mathbb{R}} \equiv \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$ становится топологическим пространством, если её снабдить естественной топологией, определив окрестности бесконечных точек следующим образом:

• Окрестностью точки $+\infty$ является любой интервал

  $(T,+\infty] \equiv (T,+\infty) \cup \{+\infty\};$

• Окрестностью точки $-\infty$ является любой интервал

  $[-\infty,T) \equiv \{-\infty\}\cup (-\infty,T).$

Пределы функции на бесконечностях тогда можно определить как обычные пределы на топологическом пространстве.

• Число $~A$ называется пределом функции $~f$ при $~x$ стремящемся к плюс-бесконечности, если для любой окрестности $V(A)$ существует окрестность $U(+\infty)$ такая, что

$$\forall x \in U(\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$$

• Число $~A$ называется пределом функции $~f$ при $~x$ стремящемся к минус бесконечности, если для любой окрестности $~V(A)$ существует окрестность $~U(-\infty)$ такая, что

$$\forall x \in U(-\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$$

Замечания

Если предел функции $~f$ при $x \to a$ существует и равен $~A$, пишут $$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A.$$ Существует определение одностороннего предела (левого или правого) в точке, аналогичное определениям пределов в $+\infty$ и $-\infty$.

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции $f,g:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ и $a \in M'.$ Тогда

• Предел $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ единственнен, то есть

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2);$
  

Доказательство  

$\blacktriangleleft$    Доказательство методом от противного. Пусть существует $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1$ и $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2$ и $A_1\not= A_2$. Предположим $A_1$. Возьмём $\varepsilon >0$, такое что $A_1+\varepsilon < A_2-\varepsilon$, т.е. $\varepsilon < \frac{A_2-A_1}{2}$.

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \Rightarrow \exists \delta_1 = \delta_1(\varepsilon) > 0\; \forall x \in \dot{U}_{\delta_1}(a) \Rightarrow |f(x) - A_1| < \varepsilon$, т.е. $A_1-\varepsilon$.

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \Rightarrow \exists \delta_2 = \delta_2(\varepsilon) > 0\; \forall x \in \dot{U}_{\delta_2}(a) \Rightarrow |f(x) - A_2| < \varepsilon$, т.е. $A_2-\varepsilon$.

Тогда получаем \(A_1-\varepsilon

• Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более общо,

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A > B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > B\right),$

где $\dot{U}_{\epsilon}(a)$ — проколотая окрестность точки $a$.

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A >0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > 0\right);$

• Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \exists K>0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);$

• Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

  $\left(\exists \epsilon>0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);$

• Предел суммы равен сумме пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);$

• Предел разности равен разности пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);$

• Предел произведения равен произведению пределов:

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);$

• Предел частного равен частному пределов.

  $\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).$

См. также

• Правило Лопиталя
• Замечательные пределы

Ссылки

• Онлайн Калькулятор Пределов